Question

如图，O是已知线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB的垂线与AD的延长线交于点E．
（1）求证：AE切⊙O于点D；
（2）若AC=2，且AC、AD的长时关于x的方程x²-kx+4

5

=0的两根，求线段EB的长；
（3）当点O位于线段AB何处时，△ODC恰好是等边三角形？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接OD．只需证明OD⊥AE即可；
（2）根据两根之积求得AD的长，再根据切割线定理求得AB的长，再根据△AOD∽△AEB即可求解；
（3）要探索△ODC恰好是等边三角形，则OB=OC，即点O是AB的中点，再进一步反过来证明．

解答：（1）证明：连接OD．
根据直径所对的圆周角是直角，得OD⊥AE，
则AE切⊙O于点D．

（2）解：∵AC=2，AC、AD是所给方程的两根，
∴2AD=4

5

，
∴AD=2

5

．
由切割线定理，得AD²=AC•AB，
∴AB=

AD2

AC

=10，
则BC=AB-AC=10-2=8，
∴OD=4．
在△AOD和△AEB中，∵∠A=∠A，
又∵EB⊥AB，
∴∠EBA=∠ODA=90°
∴△AOD∽△AEB．
∴

OD

BE

=

AD

AB

，
∴BE=

OD•AB

AD

=4

5

．

（3）解：当点O位于线段AB上靠近B的三等分点处时，△ODC恰好为等边三角形．
证明如下：∵OB=OC=

1

2

BC，
∴AC=

1

3

AB．
∴AC=OC=OD．
∴C为以AO为直径的圆的圆心．
∴CD=OC=OD．
∴△ODC是等边三角形．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、相似三角形的判定和性质、切割线定理以及等边三角形的判定和性质．