Question

如图，O是已知线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB的垂线与AD的延长线交于点E；
（1）求证：AE切⊙O于点D；
（2）若AC=2，且AC、AD的长是关于x的方程的两根，求线段EB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵AO为半圆直径，∴∠ADO=90°．
∴AE切⊙O于点D；

（2）∵AC、AD的长是关于x的方程的两根，
∴AC•AD=4；
∵AC=2，
∴AD=2．
设OD=OC=x，则（x+2）²=（2）²+x²．
解得x=4．
∴AB=2+8=10．
∵∠ADO=∠ABE=90°，∠A=∠A，
∴△AOD∽△AEB，
∴，即，
∴BE=4．
分析：（1）连接OD，证明OD⊥AD即可．由AD是半圆直径易证；
（2）根据题意，AC•AD=4，则AD=2．在Rt△AOD中利用勾股定理可求半径，知△AOD各边的长度．
证明△AOD∽△AEB，得比例线段建立已知和未知之间的联系求解．
点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度中上．