Question

12、如图，已知在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA＞OC，OB＞OD．
求证：BC+AD＞AB+CD．

Answer 1

分析：可通过作辅助线将不同线段转化到一个或两个三角形中，再通过线段之间的转化进而最终得出结论．

解答：证明：在OA上截取OC′=OC，在OB上截取OD′=OD，
连接C′D′，AD′，BC′，设BC′、AD′交于E（如图），
易证△COD≌△C′OD′（SAS），
所以CD=C′D′，
易证△AOD≌△AOD′，△COB≌△C′OB（SAS），
所以AD=AD′，CB=C′B，
在△C′D′E中，C′E+D′E＞C′D′①
在△ABE中，AE+BE＞AB②
①+②得AE+D′E+BE+C′E＞AB+C′D′，
所以AD′+BC′＞AB+CD，
所以AD+BC＞AB+CD．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．