Question

已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．
（1）求证：FC=BE；
（2）若AD=DC=2，求AG的长．

Answer 1

分析：（1）由直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC，AE=AC，根据AAS易证得△ABC≌△AFE，根据全等三角形的对应边相等，即可得AB=AF，继而可得FC=BE；
（2）利用等腰三角形的三线合一定理可得AF=

1

2

AC=

1

2

AE，进而求得一些角是30°，主要利用AD长，直角三角形勾股定理来求解即可求得答案．

解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，
∴∠ABC=∠AFE．
∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，
∴△ABC≌△AFE，
∴AB=AF．
∴AE-AB=AC-AF，
即FC=BE；

（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，
∴AF=

1

2

AC=

1

2

AE．
∴AG=CG，∠E=30°．
∵∠EAD=90°，
∴∠ADE=60°，
∴∠FAD=∠E=30°，
∴FC=

3

，
∵AD∥BC，
∴∠ACG=∠FAD=30°，
∴CG=2，
∴AG=2．

点评：本题考查直角梯形、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定．此题知识点多，综合性强．突破此题的关键在于第一问证得△ABC≌△AFE，第二问利用等腰△ADC的性质得AF=

1

2

AC=

1

2

AE．从而得出∠E=30°，注意数形结合思想的应用．