Question

已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF=14°，则∠BOE= _________ ；若∠COF=n°，则∠BOE= _________ ，∠BOE与∠COF的数量关系为 _________ ；
（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF=3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE，
∴2（∠COE﹣∠COF）=∠AOB﹣∠BOE，
而∠AOB=160°，∠COE=80°，
∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE，
∴∠BOE=2∠COF，
当∠COF=14°时，∠BOE=28°；
当∠COF=n°时，∠BOE=2n°，
故答案为28°；2n°；
∠BOE=2∠COF．
（2）∠BOE=2∠COF仍然成立．
理由如下：∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE，
∴2（∠COE﹣∠COF）=∠AOB﹣∠BOE，
而∠AOB=160°，∠COE=80°，
∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE，
∴∠BOE=2∠COF；
（3）存在．设∠AOF=∠EOF=2x，
∵∠DOF=3∠DOE，
∴∠DOE=x，而∠BOD为直角，
∴2x+2x+x+90°=160°，
解得x=14°，
∴∠BOE=90°+x=104°，
∴∠COF=×104 °=52 °（满足∠COF+∠FOE=∠COE=80 °）．