题目内容
如图：y轴上正半轴上一点O1为圆心的圆交两坐标轴与A、B、C、D四点，已知B（-3，0），AB=3| 10 |
（1）求O1的坐标；
（2）过B作BH⊥AC于H交AO于E，求S△BDE；
（3）作⊙O1的内接锐角△BKJ，作BM⊥KJ与M，作JN⊥BK与N，BM、JK交于H点，当锐角△BKJ的大小变化时，给出下列两个结论：①BK2+JH2的值不变；②|BK2-JH2|的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．
分析：（1）先得到OA，再利用相交弦定理求出OD，最后得到OO1，得到O1的坐标．
（2）要先通过直角△OBE∽直角△OAB求出OE，再求面积．
（3）作含直径的直角三角形，通过两次相似以及等式的变化求出BK2+JH2的值．
（2）要先通过直角△OBE∽直角△OAB求出OE，再求面积．
（3）作含直径的直角三角形，通过两次相似以及等式的变化求出BK2+JH2的值．
解答：
解：（1）∵AD垂直平分BC，OB=3，AB=3
，
∴OA=9；
又∵OA•OD=OB•OC，
∴OD=1，则AD=10，
∴O1D=5，
∴O1的坐标为（0，4）．
（2）连接BD，如图，
∵BH⊥AC，
∴∠1=∠2，而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴直角△OBE∽直角△OAB，
∴OB2=OE•OA，而OB=3，OA=9，
∴OE=1，则DE=2；
∴S△BDE=
×3×2=3
（3）结论①正确．证明如下：
过B点作直径BE，连EJ，如图；
∵BE是直径，
∴∠BJE=90°，
∵BM⊥KJ，
∴∠BMK=90°；
又∵∠K=∠E，
∴△BEJ∽△KBM，
∴
=
，则
=
；①
∵JN⊥BK，
∴∠MHJ=∠K=∠E，
∴直角△JHM∽直角△BEJ，
∴
=
，则
=
，②
由①，②得
=
=1，而BE为直径等于10．
∴BK2+JH2=100．
解：（1）∵AD垂直平分BC，OB=3，AB=3| 10 |
∴OA=9；
又∵OA•OD=OB•OC，
∴OD=1，则AD=10，
∴O1D=5，
∴O1的坐标为（0，4）．
（2）连接BD，如图，
∵BH⊥AC，
∴∠1=∠2，而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴直角△OBE∽直角△OAB，
∴OB2=OE•OA，而OB=3，OA=9，
∴OE=1，则DE=2；
∴S△BDE=
| 1 |
| 2 |
（3）结论①正确．证明如下：
过B点作直径BE，连EJ，如图；
∵BE是直径，
∴∠BJE=90°，
∵BM⊥KJ，
∴∠BMK=90°；
又∵∠K=∠E，
∴△BEJ∽△KBM，
∴
| BK |
| BE |
| BM |
| BJ |
| BK2 |
| BE2 |
| BM2 |
| BJ2 |
∵JN⊥BK，
∴∠MHJ=∠K=∠E，
∴直角△JHM∽直角△BEJ，
∴
| JH |
| BE |
| JM |
| BJ |
| JH2 |
| BE2 |
| JM2 |
| BJ2 |
由①，②得
| BK2+ JH2 |
| BE2 |
| BM2 + JM2 |
| BJ2 |
∴BK2+JH2=100．
点评：熟练掌握圆周角定理及其推论．熟悉三角形相似的判定和性质定理，对于较为复杂的问题，一定要认真分析题意和结论，使推理有方向．
练习册系列答案
相关题目
与△PMN重叠部分的面积为S．
