Question

（1）直角三角形斜边上的中线为1，周长为2+

6

，则它的面积是

 

．
（2）一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是

 

．
（3）四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是

 

．
（4）梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S_△ABO=p₂，S_△CDO=q₂，则S_ABCD=

 

．
（5）在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，

AE

EC

=

2

3

，S_△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S_△DEF=

 

．

Answer 1

分析：（1）设直角三角形的两直角边分别等于x、y，由斜边中线的长建立方程，求解x、y的值，进而即可得出三角形的面积；
（2）由三边关系求出三边的长，再由勾股定理求出三角形的高，进而可求其面积；
（3）两个三角形全等，由边角关系求出一个三角形的面积即可；
（4）S_△AOB+S_△COD=S_△AOD+S_△BOC，即可得出梯形的面积；
（5）过点B作BG∥AE，则△ADE≌△BGD，可得S_△ABE=S_△BEG，再根据△DEF∽△BEG即可求解．

解答：解：（1）设直角三角形的两直角边分别等于x、y，
∵直角三角形斜边上的中线为1，
∴斜边的长=2，
∴x+y=2+

6

-2=

6

①，
∴x²+y²=4②，
解关于①②的方程，得
x=

6 + 2

2

，y=

6 - 2

2

，
或y=

6 + 2

2

，x=

6 - 2

2

，
∴S_△=

1

2

xy=

1

2

×

6 + 2

2

×

6 - 2

2

=

1

2

；

（2）设这个三角形的三边是a、b、c，
那么a+b+c=8，
又∵a、b、c是整数，a+b＞c，且a、b、c均小于4，
∴a=2，b=c=3，
如右图所示，AD是底边BC上的高，AB=AC=3，
S_△ABC=

1

2

BC×AD=

1

2

×2×

32-12

=2

2

；

（3）如右图所示，
连接AC，则Rt△ACD≌Rt△ACB，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∵AC=1，∴CD=

1

2

，AD=

3

2

，
∴S_ABCD=2S_△ACD=2×

1

2

×

1

2

×

3

2

=

3

4

；

（4）如图，
∵S_△AOB+S_△COD=S_△AOD+S_△BOC，
又S_△AOB=p₂，S_△COD=q₂，
∴S_梯形ABCD=2（p₂+q₂）；

（5）如图，过点B作BG∥AE，则△ADE≌△BGD，∴S_△ABE=S_△BEG，
因为D为AB中点，所以D为AB中点，∴△DEF∽△BEG，
∵S_△ABC=40，

AE

EC

=

2

3

，∴S_△ABE=

2

5

×40=16，
∴S_△DEF=

1

4

×16=4．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及直角三角形的知识，难度较大，关键是掌握相似三角形的判定方法．