题目内容
(2012•湖州)如图1,已知菱形ABCD的边长为2
,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点.点D的坐标为(-
,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<
)
①是否存在这样的t,使△ADF与△DEF相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围.(写出答案即可)
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201206/43/9aca610c.png)
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(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<
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①是否存在这样的t,使△ADF与△DEF相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围.(写出答案即可)
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201206/43/9aca610c.png)
分析:(1)根据已知条件求出AB和CD的中点坐标,然后利用待定系数法求该二次函数的解析式;
(2)本问是难点所在,需要认真全面地分析解答:
①如图2所示,△ADF与△DEF相似,包括三种情况,需要分类讨论:
(I)若∠ADF=90°时,△ADF∽△DEF,求此时t的值;
(II)若∠DFA=90°时,△DEF∽△FBA,利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值;
(III)∠DAF≠90°,此时t不存在;
②如图3所示,画出旋转后的图形,认真分析满足题意要求时,需要具备什么样的限制条件,然后根据限制条件列出不等式,求出t的取值范围.确定限制条件是解题的关键.
(2)本问是难点所在,需要认真全面地分析解答:
①如图2所示,△ADF与△DEF相似,包括三种情况,需要分类讨论:
(I)若∠ADF=90°时,△ADF∽△DEF,求此时t的值;
(II)若∠DFA=90°时,△DEF∽△FBA,利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值;
(III)∠DAF≠90°,此时t不存在;
②如图3所示,画出旋转后的图形,认真分析满足题意要求时,需要具备什么样的限制条件,然后根据限制条件列出不等式,求出t的取值范围.确定限制条件是解题的关键.
解答:
解:(1)由题意得AB的中点坐标为(-
,0),CD的中点坐标为(0,3),
分别代入y=ax2+b得
,
解得,
,
∴y=-x2+3.
(2)①如图2所示,在Rt△BCE中,∠BEC=90°,BE=3,BC=2
∴sinC=
=
=
,∴∠C=60°,∠CBE=30°
∴EC=
BC=
,DE=
又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠C=180°![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201207/10/17589b06.png)
∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似,则△ADF中必有一个角为直角.
(I)若∠ADF=90°
∠EDF=120°-90°=30°
在Rt△DEF中,DE=
,求得EF=1,DF=2.
又∵E(t,3),F(t,-t2+3),∴EF=3-(-t2+3)=t2
∴t2=1,∵t>0,∴t=1
此时
=
=2,
=
=2,
∴
=
,
又∵∠ADF=∠DEF
∴△ADF∽△DEF
(II)若∠DFA=90°,
可证得△DEF∽△FBA,则
=
设EF=m,则FB=3-m
∴
=
,即m2-3m+6=0,此方程无实数根.
∴此时t不存在;
(III)由题意得,∠DAF<∠DAB=60°
∴∠DAF≠90°,此时t不存在.![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201207/10/9236e834.png)
综上所述,存在t=1,使△ADF与△DEF相似;
②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴,分别交抛物线、x轴于点M、点N.
观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足:EE′≤BE且MN≥C′N.
∵F(t,3-t2),∴EF=3-(3-t2)=t2,∴EE′=2EF=2t2,
由EE′≤BE,得2t2≤3,解得t≤
.
∵C′E′=CE=
,∴C′点的横坐标为t-
,
∴MN=3-(t-
)2,又C′N=BE′=BE-EE′=3-2t2,
由MN≥C′N,得3-(t-
)2≥3-2t2,解得t≥
-
或t≤-
-3(舍).
∴t的取值范围为:
-
≤t≤
.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201207/10/255de30b.png)
3 |
分别代入y=ax2+b得
|
解得,
|
∴y=-x2+3.
(2)①如图2所示,在Rt△BCE中,∠BEC=90°,BE=3,BC=2
3 |
∴sinC=
BE |
BC |
3 | ||
2
|
| ||
2 |
∴EC=
1 |
2 |
3 |
3 |
又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠C=180°
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201207/10/17589b06.png)
∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似,则△ADF中必有一个角为直角.
(I)若∠ADF=90°
∠EDF=120°-90°=30°
在Rt△DEF中,DE=
3 |
又∵E(t,3),F(t,-t2+3),∴EF=3-(-t2+3)=t2
∴t2=1,∵t>0,∴t=1
此时
AD |
DE |
2
| ||
|
DF |
EF |
2 |
1 |
∴
AD |
DE |
DF |
EF |
又∵∠ADF=∠DEF
∴△ADF∽△DEF
(II)若∠DFA=90°,
可证得△DEF∽△FBA,则
DE |
FB |
EF |
BA |
设EF=m,则FB=3-m
∴
| ||
3-m |
m | ||
2
|
∴此时t不存在;
(III)由题意得,∠DAF<∠DAB=60°
∴∠DAF≠90°,此时t不存在.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201207/10/9236e834.png)
综上所述,存在t=1,使△ADF与△DEF相似;
②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴,分别交抛物线、x轴于点M、点N.
观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足:EE′≤BE且MN≥C′N.
∵F(t,3-t2),∴EF=3-(3-t2)=t2,∴EE′=2EF=2t2,
由EE′≤BE,得2t2≤3,解得t≤
| ||
2 |
∵C′E′=CE=
3 |
3 |
∴MN=3-(t-
3 |
由MN≥C′N,得3-(t-
3 |
6 |
3 |
6 |
∴t的取值范围为:
6 |
3 |
| ||
2 |
点评:本题是动线型中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换(平移与旋转)、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点,难度较大,对考生能力要求很高.本题难点在于第(2)问,(2)①中,需要结合△ADF与△DEF相似的三种情况,分别进行讨论,避免漏解;(2)②中,确定“限制条件”是解题关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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