Question

如图所示，已知点A在第一象限内，点B和点C在x轴上，且关于原点O对称，AO=AB．如果关于x的方程x²-（BO+4）x+BO²-BO+7=0有实数根，△ABO的面积为2，反比例函数的图象经过点A．
（1）求BO的长；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）如果P是这个反比例函数图象上的一点，且∠BPC=90°，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）要求BO的长，需要根据关于x的方程x²-（BO+4）x+BO²-BO+7=0有实数根有实根的情况，利用跟的判别式就可以求出．
（2）若设y=

k

x

，因为AO=AB，△ABO的面积为2，所以k的绝对值为2，根据图象位置可求k值；
（3）若设P（m，2m），则容易写出直线PB，PC解析式，从而求出m与系数关系，再根据系数之积为-1可求m值，既而写出P的坐标．

解答：解：（1）∵关于x的方程x²-（BO+4）x+BO²-BO+7=0有实数根，
∴△=（BO+4）²-4（BO²-BO+7）≥0．（2分）
∴-3（BO-2）²≥0．∴（BO-2）²≤0．
又∵（BO-2）²≥0，∴（BO-2）²=0．（1分）
∴BO=2．（1分）

（2）设A（x，y），其中y＞0．
∵S_△ABO=2，∴

1

2

×OB•y=2．∴y=2．（1分）
又∵AO=AB，即点A在OB中垂线上，∴x=1．（1分）
∴A（1，2）．
设反比例函数的解析式为y=

k

x

(k≠0)．代入A（1，2），得k=2．
∴所求反比例函数的解析式为y=

2

x

．（1分）

（3）设点P的坐标为（x，

2

x

）．
∵点C、B关于原点O对称，B（2，0），∴C（-2，0）．（1分）
∴BC=4．
当∠BPC=90°时，BC²=BP²+PC²，
即42=(x-2)2+

4

x2

+(x+2)2+

4

x2

．（1分）
化简整理，得x2-4+

4

x2

=0．（1分）
∴(x-

2

x

)2=0．
∴x-

2

x

=0．整理，得x²=2．
解得x=±

2

．（1分）
经检验：x=±

2

都是原方程的根．
∴点P的坐标为（

2

 ， 

2

）或（-

2

 ， -

2

）．（1分）

点评：此题难度中等，考查反比例函数、一次函数的图象和性质．一元二次方程根的判别式的运用，同时同学们要掌握解方程（组）的方法．