Question

三条笔直的公路将A、B、C三个村子两两连接，其中公路AB与公路AC的长相同．又一个自来水厂D到三个村子的距离相同，都是5公里，到公路BC的距离是3公里，一个从A村出发沿公路走一圈（既沿A-B-C-A的路线走），你知道他走的路程是多少吗？

Answer 1

解：①当D在△ABC内部，
∵D到A、B、C三点的距离相等，
∴D是AB、BC、AC三边的中垂线的交点，
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，且D在AE上，
∴DA=DB=DC=5，DE=3，
在Rt△BDE中，BE==4，
∴BC=8，
在Rt△ABE中，AB==4，
∴AB+BC+CA=4×2+8=8+8；
②当D在△ABC外部，
∵D到A、B、C三点的距离相等，
∴D是AB、BC、AC三边的中垂线的交点，
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，且D在AE延长线上，
∴DA=DB=DC=5，DE=3，
在Rt△BDE中，BE==4，
∴BC=8，
在Rt△ABE中，AB==2，
∴AB+BC+AC=2×2+8=4+8．
分析：①当D在△ABC内部，由于D到A、B、C三点的距离相等，那么D是AB、BC、AC三边的中垂线的交点，而AB=AC，可知AE⊥BC，且D在AE上，根据题意可知DA=DB=DC=5，DE=3，在Rt△BDE中利用勾股定理易求BE，进而可求BC，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AB，从而易求AB+BC+AC的值；
②当D在△ABC外部，易知AE⊥BC，且D在AE延长线上，和①同理可求BE、AB的值，进而可求AB+BC+AC的值．
点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是注意分情况讨论，并很好地利用勾股定理．