Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．

（1）求证：AT平分∠BAC；

（2）若AO=2，AT=，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）AT平分∠BAC；（2）AC=3．

【解析】

试题分析：（1）连接OT，如图，根据切线的性质得OT⊥PQ，加上AC⊥PQ，则可判断OT∥AC，所以∠TAC=∠OTA，而∠OTA=∠OAT，所以∠TAC=∠OAT；

（2）连接BT，如图，证明Rt△ABT∽Rt△ATC，然后利用相似比克计算出AC的长．

试题解析：（1）证明：连接OT，如图，

∵PQ切⊙O于T，

∴OT⊥PQ，

∵AC⊥PQ，

∴OT∥AC，

∴∠TAC=∠OTA，

而OT=OA，

∴∠OTA=∠OAT，

∴∠TAC=∠OAT，

∴AT平分∠BAC；

（2）连接BT，如图，

∵AB为直径，

∴∠ATB=90°，

∵∠TAC=∠BAT，

∴Rt△ABT∽Rt△ATC，

∴，即，

∴AC=3．