Question

如图，已知AB为半⊙O的直径，直线MN与⊙O相切于C点，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F．
求证：（1）AE+BF=AB；（2）EF²=4AE•BF．

Answer 1

证明：（1）连接OC，
∵AE⊥MN，BF⊥MN，
∴AE∥BF，而AB≠EF，
∴四边形ABFE为梯形，
∵OC∥AE∥BF，
∴EC=CF，
∴OC为梯形ABFE的中位线，
∴AE+BF=2OC，
即：AE+BF=AB．

（2）连接AC、BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠FCB=90°，
∵∠CBF+∠FCB=90°，
∠CBF=∠ECA，
∴△AEC∽△CFB，
∴CF•EC=AE•BF，
∵CF=EC=EF，
∴EF²=4AE•BF．
分析：（1）连接OC，先利用AE、BF都垂直于MN，而AB≠EF，可证四边形ABFE是梯形，而O是AB中点，且AE∥OC∥BF，利用平行线分线段成比例定理的推论，易得CE：CF=AO：BO，那么C也是EF中点，从而OC使梯形中位线，利用梯形中位线定理可证AE+BF=2OC，而AB=2OC，即可证；
（2）连接AC、BC，AB是直径，易得∠ACB是90°，从而∠ACE+∠FCB=90°，而BF⊥MN，易得∠FCB+∠FBC=90°，利用同角的余角相等，可证∠ECA=∠FBC，再加上一对直角相等，容易证出△EAC∽△FCB，可得比例线段，再结合CE=CF=EF，代入比例线段，化简即可得证．
点评：本题利用了梯形的判定、平行线分线段成比例定理的推论、梯形中位线定理、同角的余角相等、相似三角形的判定和性质等知识．