Question

【题目】如图，⊙O的直径FD⊥弦AB于点H，E是上一动点，连结FE并延长交AB的延长线于点C，AB=8，HD=2．

（1）求⊙O的直径FD；

（2）在E点运动的过程中，EFCF的值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由；

（3）当E点运动到的中点时，连接AE交DF于点G，求△FEA的面积．

Answer 1

【答案】（1）DF=10；（2）是，EFCF=80；（3）S△FEA=30．

【解析】分析：（1）连接OA，由垂径定理得到AH=AB=4，设OA=x，在Rt△OAH中，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到∠BAF=∠AEF，推出△FAE∽△FCA，根据相似三角形的性质得到，推出AF=EFCF，代入数据即可得到结论;（3）连接OE，由E点是的中点，得到∠FAE=45°，∠EOF=90°，于是得到∠EOH=∠AHG，推出△OGE∽△HGA，根据相似三角形的性质得到，求得OG= ,得到FG=OF+OG=,根据三角形的面积公式即可得到结论．

本题解析：（1）连接OA，∵直径FD⊥弦AB于点H，∴AH=AB=4，设OA=x，

在Rt△OAH中，AO2=AH2+，即x2=42+，∴x=5，

∴DF=2OA=10；

（2）是，

∵直径FD⊥弦AB于点H，∴ ，∴∠BAF=∠AEF，

∵∠AFE=∠CFA，∴△FAE∽△FCA，∴，∴AF2=EFCF，

在Rt△AFH中，AF2=AH2+FH2=44+82=80，

∴EFCF=80；

（3）连接OE，∵E点是 的中点，∴∠FAE=45°，∠EOF=90°，

∴∠EOH=∠AHG，∵∠OGE=∠HGA，∴△OGE∽△HGA，

∴，即=，∴OG=，∴FG=OF+OG=，

∴S△FEA=S△EFG+S△AFG=FGOE+FGAH=××（4+5）=30．