题目内容
（2013•福州质检）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，DE=2，线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始），速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．（1）求证：四边形MFCN是矩形；
（2）设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；
（3）在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值．
分析：（1）根据平行线的性质可以证得四边形MFCN的三个角是直角，则可以证得是矩形；
（2）利用t表示出MN、MF的长，然后根据S=S△MDE+S△MNE=
DE•MF+
MN•MF即可得到关于t的函数，利用函数的性质即可求解；
（3）当△NME∽△DEM时利用相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值；
当△EMN∽△DEM时，根据相似三角形的对应边的比相等可以得到
=
即EM2=NM•DE．然后在Rt△MEF中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求解．
（2）利用t表示出MN、MF的长，然后根据S=S△MDE+S△MNE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）当△NME∽△DEM时利用相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值；
当△EMN∽△DEM时，根据相似三角形的对应边的比相等可以得到
| NM |
| EM |
| EM |
| DE |
解答：解：（1）证明：∵MF⊥AC，
∴∠MFC=90°．
∵MN∥AC，
∴∠MFC+∠FMN=180°．
∴∠FMN=90°．
∵∠C=90°，
∴四边形MFCN是矩形．
（2）解：当运动时间为t秒时，AD=t，
∵F为DE的中点，DE=2，
∴DF=EF=
DE=1．
∴AF=t+1，FC=8-（t+1）=7-t．
∵四边形MFCN是矩形，
∴MN=FC=7-t．
又∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=45°．
∴在Rt△AMF中，MF=AF=t+1，
∴S=S△MDE+S△MNE=
DE•MF+
MN•MF
=
×2（t+1）+
（7-t）（t+1）=-
t2+4t+
∵S=-
t2+4t+
=-
（t-4）2+
∴当t=4时，S有最大值．
（3）∵MN∥AC，
∴∠NME=∠DEM．
①当△NME∽△DEM时，
∴
=
．
∴
=1，解得：t=5．
②当△EMN∽△DEM时，∴
=
．
∴EM2=NM•DE．
在Rt△MEF中，ME2=EF2+MF2=1+（t+1）2，
∴1+（t+1）2=2（7-t）．
解得：t1=2，t2=-6（不合题意，舍去）
综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．
∴∠MFC=90°．
∵MN∥AC，
∴∠MFC+∠FMN=180°．
∴∠FMN=90°．
∵∠C=90°，
∴四边形MFCN是矩形．
（2）解：当运动时间为t秒时，AD=t，
∵F为DE的中点，DE=2，
∴DF=EF=
| 1 |
| 2 |
∴AF=t+1，FC=8-（t+1）=7-t．
∵四边形MFCN是矩形，
∴MN=FC=7-t．
又∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=45°．
∴在Rt△AMF中，MF=AF=t+1，
∴S=S△MDE+S△MNE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∵S=-
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 25 |
| 2 |
∴当t=4时，S有最大值．
（3）∵MN∥AC，
∴∠NME=∠DEM．
①当△NME∽△DEM时，
∴
| NM |
| DE |
| EM |
| ME |
∴
| 7-t |
| 2 |
②当△EMN∽△DEM时，∴
| NM |
| EM |
| EM |
| DE |
∴EM2=NM•DE．
在Rt△MEF中，ME2=EF2+MF2=1+（t+1）2，
∴1+（t+1）2=2（7-t）．
解得：t1=2，t2=-6（不合题意，舍去）
综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．
点评：本题考查了矩形的判定，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，正确分情况讨论是关键．
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