题目内容

如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC= $数学公式$ ．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．

解：（1）设抛物线的函数关系式为：y=a（x-4）²+m，
∵抛物线过C与原点O，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴所求抛物线的函数关系式为：y=- $\text{[math]}$ （x-4）²+ $\text{[math]}$ ，
设直线AC的函数关系式为y=kx+b，
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ．

∴直线AC的函数关系式为：y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
∴点E的坐标为（4， $\text{[math]}$ ）
∴此抛物线过E点．
（2）过M作MQ∥y轴，交x轴于Q，交直线CN于P；
易知：N（8，0），C（2，2 $\text{[math]}$ ）；
可得直线CN的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；
设点Q的坐标为（m，0），则P（m，- $\text{[math]}$ m+ $\text{[math]}$ ），M（m，- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m）；
∴MP=- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m-（- $\text{[math]}$ m+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ；
∴S=S_△CMN=S_△CPM+S_△MNP= $\text{[math]}$ MP•|x_M-x_C|+ $\text{[math]}$ MP•|x_N-x_M|= $\text{[math]}$ MP•|x_N-x_C|= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ）×6=- $\text{[math]}$ m²+5 $\text{[math]}$ m-8 $\text{[math]}$ ；
即S=- $\text{[math]}$ （m-5）²+ $\text{[math]}$ （2＜m＜8）；
∵2＜5＜8，
∴当m=5时，Smax= $\text{[math]}$ ；
即△CMN的最大面积为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设直线x=4与x轴的交点为F，易证得△ABC∽△AFE，根据相似三角形得到的比例线段即可求出EF的长，也就得到了E点的坐标；可用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将E点坐标代入其中进行判断即可；
（2）过M作y轴的平行线，交直线CN于P，交x轴于Q；根据抛物线的解析式可求出N点的坐标，进而可求出直线CN的解析式，设出Q点的坐标，即可根据抛物线和直线的解析式求出MP的长；以MP为底，C、N的横坐标差的绝对值为高即可得到△CMN的面积，由此可求出关于△CMN的面积与Q点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得到△CMN的最大面积．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象交点坐标及图形面积的求法等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．