题目内容
如图,已知正方形ABCD边长为10cm,点M从C到D以1cm/s的速度运动.将正方形ABCD折叠,使顶点A与点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G.设点M的运动时间为t(0<t<10),单位:s.(1)求证:△DEM∽△CMG;
(2)当t=5s时,求△DEM的周长;
(3)当5<t<10时,求△CMG的周长.
分析:(1)根据折叠的性质知:∠EMG=∠A=90°,故∠DME+∠CMG=90°,又∠DME+∠DEM=90°,可得:∠DEM=∠CMG,又∠D=∠C=90°,可证:△DEM∽△CMG;
(2)当t=5时,可得:DM=CM=5,由折叠性质知:EM=EA,故△DEM的周长为DM+DE+EM=DM+DE+EA=DM+DA=15cm;
(3)CM=t,DM=10-t,在Rt△DEM中,根据勾股定理可将DE,EM的长求出,根据△DEM∽△CMG,可将CG,MG的长求出,将MC,CG,MG三者相加即为△CMG的周长.
(2)当t=5时,可得:DM=CM=5,由折叠性质知:EM=EA,故△DEM的周长为DM+DE+EM=DM+DE+EA=DM+DA=15cm;
(3)CM=t,DM=10-t,在Rt△DEM中,根据勾股定理可将DE,EM的长求出,根据△DEM∽△CMG,可将CG,MG的长求出,将MC,CG,MG三者相加即为△CMG的周长.
解答:解:(1)根据折叠的性质知:∠EMG=∠A=90°
∴∠DME+∠CMG=90°
∵∠DME+∠DEM=90°
∴∠DEM=∠CMG
∵∠D=∠C=90°
∴△DEM∽△CMG.
(2)根据折叠的性质知:EM=EA,当t=5时,DM=CM=5
∴△DEM的周长为:DM+DE+EM=DM+DE+EA=DM+DA=15cm;
(3)依题意得:CM=t,DM=10-t,
设EM=EA=x,则DE=10-x
在Rt△DEM中,EM2=DE2+DM2,
即x2=(10-x)2+(10-t)2
解得:x=10-t+
,DE=10-x=t-
∵△DEM∽△CMG
∴
=
即
=
,
解得:GM=
同理可得:CG=
∴△CMG的周长为:CM+CG+MG=20cm.
∴∠DME+∠CMG=90°
∵∠DME+∠DEM=90°
∴∠DEM=∠CMG
∵∠D=∠C=90°
∴△DEM∽△CMG.
(2)根据折叠的性质知:EM=EA,当t=5时,DM=CM=5
∴△DEM的周长为:DM+DE+EM=DM+DE+EA=DM+DA=15cm;
(3)依题意得:CM=t,DM=10-t,
设EM=EA=x,则DE=10-x
在Rt△DEM中,EM2=DE2+DM2,
即x2=(10-x)2+(10-t)2
解得:x=10-t+
t2 |
20 |
t2 |
20 |
∵△DEM∽△CMG
∴
ME |
DE |
GM |
CM |
即
x |
10-t |
GM |
t |
解得:GM=
200-20t+t2 |
20-t |
同理可得:CG=
200-20t |
20-t |
∴△CMG的周长为:CM+CG+MG=20cm.
点评:此题主要考查图形的折叠问题,同时考查了相似三角形的判定.折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,只是位置变化.
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