题目内容
【题目】将两块斜边长相等的等腰直角三角板按如图①摆放，斜边AB分别交CD，CE于M，N点．
(1)如果把图①中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图②，求证：△CMF≌△CMN；
(2)将△CED绕点C旋转，则：
①当点M，N在AB上(不与点A，B重合)时，线段AM，MN，NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；
②当点M在AB上，点N在AB的延长线上(如图③)时，①中的关系式是否仍然成立？
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②仍然成立．
【解析】
（1）根据旋转的性质可得CF=CN，∠ACF=∠BCN，再求出∠ACM+∠BCN=45°，从而求出∠MCF=45°，然后利用“边角边”证明△CMF和△CMN全等即可；
（2）①根据全等三角形对应边相等可得FM=MN，再根据旋转的性质可得AF=BN，∠CAF=∠B=45°，从而求出∠BAF=90°，再利用勾股定理列式即可得解；
②把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，根据旋转的性质可得AF=BNCF=CN，∠BCN=∠ACF，再求出∠MCF=∠MCN，然后利用“边角边”证明△CMF和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得MF=MN，然后利用勾股定理列式即可得解．
（1）∵△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，
∴CF=CN，∠ACF=∠BCN，
∵∠DCE=45°，
∴∠ACM+∠BCN=45°，
∴∠ACM+∠ACF=45°，
即∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
在△CMF和△CMN中，
，
∴△CMF≌△CMN（SAS）；
（2）①∵△CMF≌△CMN，
∴FM=MN，
又∵∠CAF=∠B=45°，
∴∠FAM=∠CAF+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AM2+AF2=FM2，
∴AM2+BN2=MN2；
②如图，把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，
则AF=BN，CF=CN，∠BCN=∠ACF，
∵∠MCF=∠ACB-∠MCB-∠ACF=90°-（45°-∠BCN）-∠ACF=45°+∠BCN-∠ACF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
在△CMF和△CMN中，
，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴FM=MN，
∵∠ABC=45°，
∴∠CAF=∠CBN=135°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠FAM=∠CAF-∠BAC=135°-45°=90°，
∴AM2+AF2=FM2，
∴AM2+BN2=MN2．
