题目内容
【题目】如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.（2）当x＝
时，线段PD的长度有最大值
.（3）存在点M(2，－3)，使|MA－MC|最大.
【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），
∴
，
解得
，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）令x=0，则y=3，
∴点C（0，3），
则直线AC的解析式为y=﹣x+3，
设点P（x，x2﹣4x+3），
∵PD∥y轴，
∴点D（x，﹣x+3），
∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣
）2+
，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=
时，线段PD的长度有最大值
；
（3）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，
∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，
∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
，
解得
，
∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3，
∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，
∴点M（2，﹣3），
即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．
