题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AF=CE.
(1)求证:四边形ACEF是平行四边形;
(2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?请回答并证明你的结论;
(3)四边形ACEF有可能是正方形吗?为什么?
【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、∠B=30°,证明过程见解析;(3)、不可能,理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)、根据DF为垂直平分线得出BD=CD,DF⊥BC,根据∠ACB=∠BDF=90°得出DF∥AC,则BE=AE,则AE=CE,∴∠1=∠2,得到△ACE≌△EFA,即AC=EF,从而得到平行四边形;(2)、当∠B=30°时,AC=AB,CE=AB,从而得到AC=CE,得到菱形;(3)、根据CE在△ABC内部,∠ACE<∠ACB=90°,则不可能为正方形.
试题解析:(1)、∵DF是BC的垂直平分线 ∴DF⊥BC,DB=DC
∴∠ACB=∠BDF=90° ∴DF∥AC ∴BE=AE
∴AE=CE=AB
∴∠1=∠2
∵EF∥BC,AF=CE=AE
∴∠1=∠2=∠3=∠F
∴△ACE≌△EFA ∴AC=EF
∴四边形ACEF是平行四边形;
(2)、当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.证明如下:
在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°
∴AC=AB ∵CE=AB ∴AC=CE
∴四边形ACEF是菱形
(3)、四边形ACEF不可能是正方形,理由如下:由(1)知E是AB的中点
∴CE在△ABC内部,∴∠ACE<∠ACB=90° ∴四边形ACEF不可能是正方形
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