题目内容

【题目】如图1,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD=4cmBAD=∠B=∠C=∠ADC=90°,点P1cm/s的速度自点A向终点B运动,点Q同时以1cm/s的速度自点B向终点C运动,连接AQDP,设运动时间为t s

1)当t=   s时,点P到达点B

2)求证:在运动过程中,△ABQDAP始终成立;

3)如图2,作QMPD,且QM=PD,作MN射线BC于点N,连接CM,请问在Q的运动过程中,MCN的度数是否改变?如果不变,请求出MCN;如果改变,请说明理由.

【答案】14;(2)证明见解析;(3)∠MCN=45°

【解析】

1)根据AB=4cm,点P1cm/s的速度自点A向终点B运动计算即可;

2)根据题意得到AP=BQ,利用SAS定理证明;

3)根据全等三角形的性质得到QM=AQ,∠AQB=QMN,证明AQB≌△QMN,根据全等三角形的性质得到QN=ABMN=BQ,结合图形证明即可.

1)∵AB=4cm,点P1cm/s的速度自点A向终点B运动,

∴点P到达点B所用的时间为:4÷1=4s),

故答案为:4

2)在运动过程中,AP=BQ=t

ABQDAP中,

∴△ABQ≌△DAP

3)∠MCN的度不改变,始终为45°

理由如下:∵△ABQ≌△DAP

AQ=DP

QM=PD

QM=AQ

∵△ABQ≌△DAP

∴∠BAQ=ADP

∵∠BAQ+DAQ=90°

∴∠ADP+DAQ=90°,即∠AED=90°

QMPD

∴∠AQM=AED=90°

∴∠AQB+MQN=90°

∴∠AQB=QMN

AQBQMN中,

∴△AQB≌△QMN

QN=ABMN=BQ

BC=QN

BC-QC=QN-QC,即BQ=CN

MN=CN

∴∠MCN=45°

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