Question

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．

(1)求证：DF垂直平分AC；

(2)求证：FC＝CE；

(3)若弦AD＝5 cm，AC＝8 cm，求⊙O的半径．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O 　　∴DF⊥DE 　　又∵AC∥DE 　　∴DF⊥AC 　　∴DF垂直平分AC(2分) 　　(2)由(1)知：AG＝GC 　　又∵AD∥BC 　　∴∠DAG＝∠FCG 　　又∵∠AGD＝∠CGF 　　∴△AGD≌△CGF(ASA)(4分) 　　∴AD＝FC 　　∵AD∥BC且AC∥DE 　　∴四边形ACED是平行四边形 　　∴AD＝CE 　　∴FC＝CE(5分) 　　(3)连结AO；∵AG＝GC，AC＝8 cm，∴AG＝4 cm 　　在Rt△AGD中，由勾股定理得GD＝AD2－AG2＝52－42＝3 cm(6分) 　　设圆的半径为r，则AO＝r，OG＝r－3 　　在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2＝OG2＋AG2 　　有：r2＝(r－3)2＋42解得r＝256(8分) 　　∴⊙O的半径为256 cm.