Question

如图，AB是⊙的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC，E是垂足．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果AB=5，tan∠B=

1

2

，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，只要证得∠EDO=90°即可得到DE是⊙O的切线．
（2）连接AD，先证明Rt△ADB∽Rt△DEC再根据相似比不难求得CE的长．

解答：（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，tan∠B=

1

2

，AB=5，
∴设AD=x，则BD=2x，由勾股定理，得x²+（2x）²=25，x=

5

．
∴BD=CD=2

5

．
∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC．
∴∠B=∠C．
∴Rt△ADB∽Rt△DEC．
∴

AB

CD

=

BD

CE

．
∴CE=4．

点评：本题利用了三角形中位线的判定和性质，平行线的判定和性质，直径对圆周角是直角，切线的概念，正切的概念，勾股定理，相似三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质求解．