Question

如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个

单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发

沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止

运动,设P、Q运动的时间为t秒(t＞0)．

(1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；

(2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．

求出此时△APQ的面积．

(3) 在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

(4) 伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．

 

Answer 1

略

解析:解：(1)在Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3

          ∴AB＝

         ①P由O向A运动时，OP＝AQ＝t，AP＝4－t

           过Q作QH⊥AP于H点，由QH//BO得

           

          ∴

           即    (0<t≤4)

②当4<t≤5时，AP＝t－4  AQ=t

sin∠BAO=

   OH=

 ∴

        =··············(4分)

(2)由题意知，此时△APQ≌△DPQ

    ∠AQP＝900   ∴cosA=

    当0<t≤4   ∴    即

    当4<t≤5时，  t=－16(舍去)

   ∴···············(6分)

(3)存在，有以下两种情况

①若PE//BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE

过E、P分分别作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N

则有BM=QN,由PE//BQ得

∴

又∵AP=4－t,  ∴AN=

∴由BM=QN,得

∴　　　∴···································(8分)

②若PQ//BE，则等腰梯形PQBE中

BQ=EP且PQ⊥OA于P点

由题意知

∵OP+AP=OA  ∴

∴t··············(10分)

由①②得E点坐标为

(4)①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t

可得∠QOA=∠QAO  ∴∠QOB=∠QBO

∴OQ=BQ=t        ∴BQ=AQ=AE

∴······················(11分)

②当P由A向O运动时，OQ=OP=8－t

BQ=5－t, 

在Rt△OGQ中，OQ2 = RG2 + OG2

即(8－t)2 =

∴t = 5·························(12分)