题目内容
如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．（1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；
（2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积．
（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．
分析：过Q作QH⊥AP于H点，构造直角三角形APQ．
（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理求得AB；①P由O向A运动时，OP=AQ=t，AP=4-t．根据平行线截线段成比例的性质求得QH，然后求△APQ的面积；②P由A向O运动时，AP=t-4，AQ=t，由直角三角形ABO中的锐角的正弦求得QH=
t，然后求△APQ的面积；
（2）根据翻折的性质知△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°．在直角三角形AOB与直角三角形APQ中通过∠A的余弦值求得cosA=
=
=
．①当0＜t＜4时，求得t值；②当4＜t≤5时，求得t值；然后将其代入（1）中的函数解析式；
（3）①若PE∥BQ，则梯形PQBE是等腰梯形．过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．构造矩形PNME．则有BM=QN，由PE∥BQ，
得
=
，从而求得MB的值；在直角三角形APN中根据AP求得QN的值，然后由BM=QN，求得t，所以点E的坐标就迎刃而解了；②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中BQ=EP且PQ⊥OA于P点．由OP+AP=OA求得t值；
（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．再有边角关系求得BQ=AQ=
AE，解得t值；②②当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t．在Rt△OGQ中，利用勾股定理得OQ2=QG2+OG2，列出关于t的方程，解方程即可．
（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理求得AB；①P由O向A运动时，OP=AQ=t，AP=4-t．根据平行线截线段成比例的性质求得QH，然后求△APQ的面积；②P由A向O运动时，AP=t-4，AQ=t，由直角三角形ABO中的锐角的正弦求得QH=
| 3 |
| 5 |
（2）根据翻折的性质知△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°．在直角三角形AOB与直角三角形APQ中通过∠A的余弦值求得cosA=
| AQ |
| AP |
| OA |
| AB |
| 4 |
| 5 |
（3）①若PE∥BQ，则梯形PQBE是等腰梯形．过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．构造矩形PNME．则有BM=QN，由PE∥BQ，
得
| OE |
| OB |
| OP |
| OA |
（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．再有边角关系求得BQ=AQ=
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3
∴AB=
=5
①P由O向A运动时，OP=AQ=t，AP=4-t
过Q作QH⊥AP于H点．
由QH∥BO，得
=
，得QH=
t
∴S△APQ=
AP•QH=
(4-t)•
t
即S△APQ=-
t2+
t（0＜t＜4）
②当4＜t≤5时，即P由A向O运动时，AP=t-4AQ=t
sin∠BAO=
=
QH=
t，
∴s△APQ=
(t-4)•
t
=
t2-
t；
综上所述，S△APQ=
；
（2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，
∴cosA=
=
=
，
当0＜t＜4∴
=
即t=
当4＜t≤5时，
=
，t=-16（舍去）
∴S△APQ=-
t2+
t=
；
（3）存在，有以下两种情况
①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE
过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．
则有BM=QN，由PE∥BQ，
得
=
，
∴BM=
(3-
t)；
又∵AP=4-t，
∴AN=
(4-t)，
∴QN=
(4-t)-t，
由BM=QN，得
(3-
t)=
(4-t)-t
∴t=
，
∴E(0，
)；
②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P点
由题意知AP=
AQ=
t
∵OP+AP=OA，
∴t+
t=4
∴t=
，
∴OE=
，
∴点E（0，-
）
由①②得E点坐标为（0，
）或（0，-
）．
（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．
可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t
∴BQ=AQ=
AB，
∴t=
；
②当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t
BQ=5-t，QG=
(5-t)，OG=3-
(5-t)
在Rt△OGQ中，OQ2=QG2+OG2
即（8-t）2=[
(5-t)]2+[3-
(5-t)]2
∴t=5
解：（1）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3∴AB=
| 42+32 |
①P由O向A运动时，OP=AQ=t，AP=4-t
过Q作QH⊥AP于H点．
由QH∥BO，得
| QH |
| AQ |
| OB |
| AB |
| 3 |
| 5 |
∴S△APQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
即S△APQ=-
| 3 |
| 10 |
| 6 |
| 5 |
②当4＜t≤5时，即P由A向O运动时，AP=t-4AQ=t
sin∠BAO=
| QH |
| t |
| 3 |
| 5 |
QH=
| 3 |
| 5 |
∴s△APQ=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
=
| 3 |
| 10 |
| 6 |
| 5 |
综上所述，S△APQ=
|
（2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，
∴cosA=
| AQ |
| AP |
| OA |
| AB |
| 4 |
| 5 |
当0＜t＜4∴
| t |
| 4-t |
| 4 |
| 5 |
| 16 |
| 9 |
当4＜t≤5时，
| t |
| t-4 |
| 4 |
| 5 |
∴S△APQ=-
| 3 |
| 10 |
| 6 |
| 5 |
| 32 |
| 27 |
（3）存在，有以下两种情况
①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE
过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．
则有BM=QN，由PE∥BQ，
得
| OE |
| OB |
| OP |
| OA |
∴BM=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
又∵AP=4-t，
∴AN=
| 4 |
| 5 |
∴QN=
| 4 |
| 5 |
由BM=QN，得
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
∴t=
| 28 |
| 27 |
∴E(0，
| 7 |
| 9 |
②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P点
由题意知AP=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵OP+AP=OA，
∴t+
| 4 |
| 5 |
∴t=
| 20 |
| 9 |
∴OE=
| 5 |
| 3 |
∴点E（0，-
| 5 |
| 3 |
由①②得E点坐标为（0，
| 7 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．
可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t
∴BQ=AQ=
| 1 |
| 2 |
∴t=
| 5 |
| 2 |
②当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t
BQ=5-t，QG=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
在Rt△OGQ中，OQ2=QG2+OG2
即（8-t）2=[
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴t=5
点评：本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的性质以及二次函数等知识点的综合应用，弄清相关线段的大小和比例关系是解题的关键．
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