Question

如图11，已知○为坐标原点，∠AOB=30°,∠ABO=90°,且点A的坐标为(2,0).

【小题1】求点B的坐标
【小题2】若二次函数y=ax+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
【小题3】在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【小题1】()
【小题2】y=x²+x.
【小题3】()，解析:
(1) 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB=. 过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则  OD=，BD=，∴点B的坐标为() .
(2) 将A(2,0)、B ()、O(0,0)三点的坐标代入y=ax²+bx+c，得
解有a=，b=，c="0." ∴所求二次函数解析式是 y=x²+x.
(3) 设存在点C (x , x²+x) (其中0<x<)，使四边形ABCO面积最大.
∵△OAB面积为定值，
∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大.
过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则
S_△OBC= S_△OCF +S_△BCF==，
而 |CF|=y_C-y_F=，
∴ S_△OBC= .
∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为.
此时，点C坐标为()，四边形ABCO的面积为.