题目内容

如图，一次函数y=k₁x+b与反比例函数y= $数学公式$ 的图象交于A（2，m），B（n，-2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S_△ABC=5．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式k₁x+b＞ $数学公式$ 的解集；
（3）若P（p，y₁），Q（-2，y₂）是函数y= $数学公式$ 图象上的两点，且y₁≥y₂，求实数p的取值范围．

解：（1）把A（2，m），B（n，-2）代入y= $\text{[math]}$ 得：k₂=2m=-2n，
即m=-n，

则A（2，-n），
过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，
∵A（2，-n），B（n，-2），
∴BD=2-n，AD=-n+2，BC=|-2|=2，
∵S_△ABC=S_梯形BCAD-S_△BDA=5，
∴ $\text{[math]}$ ×（2-n+2）×2- $\text{[math]}$ ×（2-n）×（-n+2），
解得：n=-3，
即A（2，3），B（-3，-2），
把A（2，3）代入y= $\text{[math]}$ 得：k₂=6，
即反比例函数的解析式是y= $\text{[math]}$ ；
把A（2，3），B（-3，-2）代入y=k₁x+b得： $\text{[math]}$ ，
解得：k₁=1，b=1，
即一次函数的解析式是y=x+1；

（2）∵A（2，3），B（-3，-2），
∴不等式k₁x+b＞ $\text{[math]}$ 的解集是-3＜x＜0或x＞2；

（3）分为两种情况：当点P在第三象限时，要使y₁≥y₂，实数p的取值范围是P≤-2，
当点P在第一象限时，要使y₁≥y₂，实数p的取值范围是P＞0，
即P的取值范围是p≤-2或p＞0．
分析：（1）把A、B的坐标代入反比例函数解析式求出m=-n，过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，求出梯形BCAD的面积和△BDA的面积，即可得出关于n的方程，求出n的值，得出A、B的坐标，代入反比例函数和一次函数的解析式，即可求出答案；
（2）根据A、B的横坐标，结合图象即可得出答案；
（3）分为两种情况：当点P在第三象限时和当点P在第一象限时，根据坐标和图象即可得出答案．
点评：本题考查了一次函数的反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的图象和性质，三角形的面积等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较好，有一定的难度，用了数形结合和思想．