Question

（2013•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=

2：1

时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）

Answer 1

分析：（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根据全等三角形的判定定理推出即可；
（2）根据三角形中位线定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四边形，求出BM=CM，推出ME=MF，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠EMF=90°，根据正方形的判定推出即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵M为AD中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM，

AM=DM ∠A=∠D AB=CD

∴△ABM≌△DCM（SAS）；

（2）答：四边形MENF是菱形．
证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE=

1

2

CM，MF=

1

2

CM，
∴NE=FM，NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME=MF，
∴平行四边形MENF是菱形；

（3）解：当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．
理由是：∵M为AD中点，
∴AD=2AM，
∵AD：AB=2：1，
∴AM=AB，
∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45°，
同理∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°-45°-45°=90°，
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形，
故答案为：2：1．

点评：本题考查了正三角形的中位线，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，菱形、平行四边形、正方形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．