题目内容

【题目】如图1,已知抛物线y=ax2+bxa≠0)经过A(6,0)、B(8,8)两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;

(3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,在坐标平面内有点P,求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点POD分别与点NOB对应).

【答案】(1)抛物线的解析式是y=x2﹣3x;(2)D点的坐标为(4,﹣4);(3)P的坐标是()或().

【解析】试题分析:(1)利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可;
(2)首先求出直线OB的解析式为y=x,进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可;
(3)首先求出直线A′B的解析式,进而由P1OD∽△NOB,得出P1OD∽△N1OB1,进而求出点P1的坐标,再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标.

试题解析:

(1)∵抛物线y=ax2+bxa≠0)经过A(6,0)、B(8,8)

∴将AB两点坐标代入得:,解得:

∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x

(2)设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(8,8),

得:8=8k1,解得:k1=1

∴直线OB的解析式为y=x

∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=xm

xm=x2﹣3x

∵抛物线与直线只有一个公共点,

∴△=16﹣2m=0,

解得:m=8,

此时x1=x2=4,y=x2﹣3x=﹣4,

D点的坐标为(4,﹣4)

(3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(6,0),

∴点A关于直线OB的对称点A的坐标是(0,6),

根据轴对称性质和三线合一性质得出∠ABO=ABO

设直线AB的解析式为y=k2x+6,过点(8,8),

8k2+6=8,解得:k2=

∴直线AB的解析式是y=

∵∠NBO=ABOABO=ABO

BABN重合,即点N在直线AB上,

∴设点Nn),又点N在抛物线y=x2﹣3x上,

=n2﹣3n解得:n1=﹣n2=8(不合题意,舍去)

N点的坐标为(﹣).

如图1,将NOB沿x轴翻折,得到N1OB1

N1(﹣,-),B1(8,﹣8),

ODB1都在直线y=﹣x上.

∵△P1OD∽△NOBNOB≌△N1OB1

∴△P1OD∽△N1OB1

∴点P1的坐标为().

OP1D沿直线y=﹣x翻折,可得另一个满足条件的点P2),

综上所述,点P的坐标是()或().

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