Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠ABC=

3

5

，AB=10cm，点D是BC上一定点．动点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→A→B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动．点P出发5秒后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是△BPQ的面积S（cm²）与点P的运动时间t（s）的部分函数图象．

（1）求：AC、BC、CD的长度．
（2）①在图2中，补全5≤t≤8的图象，并在（　　）内填上相应的值．
     ②当直线PQ将△ABC的面积分成1：3的两部分时，求t的值．
（3）当点P在边AB上时，是否存在这样的t的值，使得△BPQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）利用∠ABC的正弦值列式求出AC的值，再利用勾股定理类似求出BC的值，然后根据点P到达点A时，△BPQ的面积列式求出BD的长，再根据CD=BC-BD计算即可得解；
（2）①先确定出5≤t≤8时，点P在AB上，然后表示出BP、BQ，再利用∠ABC的正弦值求出点P到BQ的距离，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
②根据CD的长度，点P到达点A时符合要求；点P在AB上时，先求出△ABC的面积，再分△BPQ的面积为△ABC面积被分成两个部分中的1份和3份两种情况列出方程求解即可；
（3）先判断出点P在AC上时，∠BQP＞90°，只有点P在AB上时，△BPQ有可能为直角三角形，然后表示出BP、BQ，再分∠BPQ和∠BQP为直角时，利用∠ABC的余弦值列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵∠C=90°，sin∠ABC=

3

5

，AB=10cm，
∴AC=AB•sin∠ABC=10×

3

5

=6cm，
由勾股定理得，BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8cm，
由图2可知，点P到达点A时，△BPQ的面积最大，
所以，

1

2

BD•AC=18，
即

1

2

BD•6=18，
解得BD=6cm，
∴CD=BC-BD=8-6=2cm；

（2）①∵点P的速度为2cm/s，
∴点P在AC上运动的时间为6÷=3秒，
∴5≤t≤8，点P在AB上，点Q在BD上，
此时BP=10+6-2t=16-2t，
BQ=6-（t-5）=11-t，
点P到BQ的距离为BP•sin∠ABC=

3

5

（16-2t），
△BPQ的面积S=

1

2

×（11-t）×

3

5

（16-2t）=

3

5

（t²-19t+88），
所以，t=5时，S=

3

5

（5²-19×5+88）=

54

5

，
补全图2如图所示；

②∵CD=2cm，BD=6cm，
∴t=3时，点P与点A重合，点Q在点D还没有出发，
此时S_△PCQ：S_△PBQ=1：3，
点P在AB上时，S_△ABC=

1

2

×8×6=24cm²，
∵直线PQ将△ABC的面积分成1：3的两部分，
∴若

3

5

（t²-19t+88）=

1

1+3

×24，
则t²-19t+78=0，
解得t₁=6，t₂=13（舍去），
若

3

5

（t²-19t+88）=

3

1+3

×24，
则t²-19t+58=0，
解得t=

19± 129

2

（舍去），
综上所述，直线PQ将△ABC的面积分成1：3的两部分时，t=3或6秒；

（3）点P在AC上时，∠BQP＞90°，
所以，只有点P在AB上时，△BPQ有可能为直角三角形，
由（2）可知BP=16-2t，BQ=11-t，
若∠BPQ=90°，则cos∠ABC=

16-2t

11-t

=

8

10

，
解得t=6，
若∠BQP=90°，则cos∠ABC=

11-t

16-2t

=

4

5

，
解得t=3，
此时BQ=11-3=8不符合题意，
综上所述，t=6秒时，△BPQ为直角三角形．

点评：本题考查了相似形综合题型，主要利用了解直角三角形，三角形的面积，以及锐角三角函数，难点在于（2）（3）两个小题要分情况讨论，根据点Q在点P出发后5秒钟才开始出发表示出BQ的长度是本题容易出错的地方．