Question

26、探究题．
如图，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC角平分线BD于D，AC，BD交于E．AF为BC中线，交BE于G．
（1）求证：BE=2CD；
（2）CE和BG大小如何？不必证明．

Answer 1

分析：（1）延长CE与BA延长线交于F．BD为角平分线：∠HBE=∠CBE∠BEH=∠BEC=90°（CE⊥BD）．则CE=EF（这部分其实用BE是角平分线、高，同时也是中线来证明，即三线合一）．CF=2CE∠BEH=90，∠AHC+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90∠ADB=∠AHC，AB=AC．所以三角形ABD全等于ACF，则BD=CH、BD=2CE；
（2）根据图示直接回答．

解答：解：（1）证明：延长CD交BA延长线于H．
∵∠BAC=90°，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠CDB=90°，又∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，∠BAC=∠CAH=90°，
∴△ABE≌△ACH，
∴CH=BE；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，又∠BDH=∠BDC=90°，BD=BD，
∴△BHD≌△BDC，
∴CH=2CD，
∴BE=2CD；

（2）CE＜BG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质．本题通过作辅助线“延长CD交BA延长线于H”构建全等三角形来证明的．