Question

探究题．
如图，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC角平分线BD于D，AC，BD交于E．AF为BC中线，交BE于G．
（1）求证：BE=2CD；
（2）CE和BG大小如何？不必证明．

Answer 1

（1）证明：延长CD交BA延长线于H．
∵∠BAC=90°，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠CDB=90°，又∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴∠ABD=∠ACD，即∠ABE=∠ACH．
在△ABE与△ACH中，

∴△ABE≌△ACH（ASA），
∴BE=CH；
∵BD平分∠ABC，BD⊥CH，
∴CH=2CD，
∴BE=2CD；

（2）解：CE＜BG．
分析：（1）延长CD与BA延长线交于H．BD为角平分线．构建全等三角形△ABE≌△ACH（ASA），然后由全等三角形的对应边相等的性质、等腰三角形的“三合一”的性质证得结论即可；
（2）根据图示直接回答．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质．本题通过作辅助线“延长CD交BA延长线于H”构建全等三角形来证明的．