题目内容

如图,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,经过点A,O的圆分别与AB、AD相交于E、F,EF与AO相交于G,⊙I分别切OE,AB,BD于M,N,H,且AD=14.
(1)图中有哪些三角形与△AGF相似(写出结论不要求证明);
(2)求AE+AF的值;
(3)若tan∠AEF=,求⊙I的半径.

【答案】分析:(1)根据题意可得与△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO;
(2)首先可证△AEO≌△DFO,即可得AE=DF,继而求得AE+AF的值;
(3)由AE+AF=14,tan∠AEF=,可求得AE=6、AF=8、EF=10,进一步可得EO=、BO=、BE=8,然后由△BOE的面积与⊙I的半径的关系,即可求得⊙I的半径.
解答:解:(1)与△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO;(3分)

(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OD,∠BAO=∠DAO=45°,
∵∠DFO=∠AEO,
∴△AEO≌△DFO(AAS),
∴AE=DF,
∴AE+AF=AD=14;(3分)

(3)∵AE+AF=14,tan∠AEF=
∴AE=6、AF=8、EF=10,(2分)
∵∠EAF=90°,
∴EF是直径,
∴∠EOF=90°,
∵OE=FO,
∴EO=
∵AB=14,OA=OB,∠AOB=90°,
∴BO=
∴BE=AB-AE=14-6=8,(2分)
∴S△BOE=×8×7×sin45°=28,(2分)
∴⊙I的半径r====3-2.(2分)
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,三角函数的应用,内切圆的性质等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
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