Question

已知直线l：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，设△A₁OB₁（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S₁；当n=2时，直线l₂：y=-

3

2

x+

1

2

与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，设△A₂OB₂的面积为S₂；…依此类推，直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，设△A_nOB_n的面积为S_n．则S₁+S₂+S₃+…+S_n=

 

．

Answer 1

分析：首先求得S₁，S₂，S_n的值，然后由规律：

1

n+1

×

1

n

=

1

n

-

1

n+1

求解即可求得答案．

解答：解：当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，
则A₁（

1

2

，0），B₁（0，1），
∴S₁=

1

2

×

1

2

×1，
∵当n=2时，直线l₂：y=-

3

2

x+

1

2

与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，
则A₂（

1

3

，0），B₂（0，

1

2

），
∴S₂=

1

2

×

1

3

×

1

2

，
∴直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，
△A_nOB_n的面积为S_n=

1

2

×

1

n+1

×

1

n

，
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n=

1

2

×

1

2

×1+

1

2

×

1

3

×

1

2

+…+

1

2

×

1

n+1

×

1

n

，
=

1

2

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

），
=

1

2

×（1-

1

n+1

），
=

n

2n+2

．
故答案为：

n

2n+2

．

点评：此题考查了一次函数的应用．解题的关键是找到规律：△A_nOB_n的面积为S_n=

1

2

×

1

n+1

×

1

n

与

1

n+1

×

1

n

=

1

n

-

1

n+1

．