Question

观察思考,如图是某种圆形装置的示意图，⊙O的直径AB =5，AB的两侧分别有定点C和动点P，tan ∠CAB=，点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线CO，与PB的延长线交于点Q，连接BC.解决问题
(1)当PC=____时，CQ与⊙O相切，此时CQ=       .
(2)当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长。
(3)当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长。

Answer 1

解：﹙1)5        (2)当点P与点C关于AB对称     时，如图l所示， 此时CP⊥AB  于D,     ∵AB为⊙O的直径，     ∴∠ACB= 90°．     ∵AB=5 ,tan∠CAB=，         ∴BC=4，AC =3． 易证△ACD∽△ABC， ∴ ∴CD=，PC= ．      在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB， ∴CQ=PCtan∠CPQ=．       (3)当点P运动到弧AB的中点  时，如图2所示， 过点B作BE⊥PC于点E，   ∵P是弧AB的中点， ∴∠PCB=45°．   ∴CE=BE=BCsin 45°= ，   又∠CPB=∠CAB， ∴PE=   ∴CQ=  .