题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以CB为半径作⊙C,交AC于点D,交AC的延长线于点E,连接ED,BE.
(1)求证:△ABD∽△AEB;
(2)当时,求tanE;
(3)在(2)的条件下,作∠BAC的平分线,与BE交于点F,若AF=2,求⊙C的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)要证明△ABD∽△AEB,已经有一组对应角是公共角,只需要再找出另一组对应角相等即可.
(2)由于AB:BC=4:3,可设AB=4,BC=3,求出AC的值,再利用(1)中结论可得AB2=ADAE,进而求出AE的值,所以tanE=;
(3)设设AB=4x,BC=3x,由于已知AF的值,构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值,即可知道半径3x的值.
试题解析:(1)∵∠ABC=90°,∴∠ABD=90°﹣∠DBC,由题意知:DE是直径,∴∠DBE=90°,∴∠E=90°﹣∠BDE,∵BC=CD,∴∠DBC=∠BDE,∴∠ABD=∠E,∵∠A=∠A,∴△ABD∽△AEB;
(2)∵AB:BC=4:3,∴设AB=4,BC=3,∴AC==5,∵BC=CD=3,∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2,由(1)可知:△ABD∽△AEB,∴,∴=ADAE,∴=2AE,∴AE=8,在Rt△DBE中
tanE===;
(3)过点F作FM⊥AE于点M,∵AB:BC=4:3,∴设AB=4x,BC=3x,∴由(2)可知;AE=8x,AD=2x,∴DE=AE﹣AD=6x,∵AF平分∠BAC,∴,∴,∵tanE=,∴cosE=,sinE=,∴,∴BE=,∴EF=BE=,∴sinE==,∴MF=,∵tanE=,∴ME=2MF=,∴AM=AE﹣ME=,∵,∴,∴x=,∴⊙C的半径为:3x=.