Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b²-4ac＞0；②abc＞0；
③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．
其中，正确结论的个数是________个．

Answer 1

4
分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：①根据图示知，二次函数与x轴有两个交点，所以△=b²-4ac＞0；故本选项正确；
②根据图示知，该函数图象的开口向上，
∴a＞0；
又对称轴x=-=1，
∴＜0，
∴b＜0；
又该函数图象交于y轴的负半轴，
∴c＜0；
∴abc＞0；故本选项正确；
③∵对称轴x=-=1，
∴b=-2a，
可将抛物线的解析式化为：y=ax²-2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x=-2时，y＞0；即4a-（-4a）+c=8a+c＞0，故本选项正确；
④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故本选项正确；
所以这四个结论都正确．
故答案为：4．
点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．