题目内容

【题目】如图,在四边形ABCD中,ADBCEAB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点MBC边上,且∠MDF=∠ADF

1)求证:△ADE≌△BFE

2)如果FM=CM,求证:EM垂直平分DF

【答案】(1)见解析 (2)见解析

【解析】

1)根据ADBC,可得∠ADE=F,由EAB的中点,可得AB=BE,从而可以证明ADE≌△BFE

2)由ADE≌△BFE,可得DE=EF,再根据∠MDF=ADFADBC,可以得到∠F=∠MDF ,则MF=MD,然后根据等腰三角形三线合一,可以证明结论成立.

证明:(1)∵EAB的中点,

AE=BE

ADBC

∴∠ADF=∠F

在△ADE与△BFE

ADF=∠F,∠AED=∠BEFAE=BE

∴△ADE≌△BFEAAS);

2)∵△ADE≌△BFE

DE=EF

ADBC,∠ADF=∠F,∠GDF=∠ADF

∴∠F=∠MDF

MF=MD

∴△MFD为等腰三角形,

DE=EF

EM垂直平分DF.

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