题目内容

（2012•荆州）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=
13
，A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
分析：（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．
（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此题得证．
（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=
1
3
，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．
（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．
解答：（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x-3）（x+1）．
将E（0，3）代入上式，解得：a=-1．
∴y=-x2+2x+3．
则点B（1，4）．

（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，AE=
OA2+OE2
=3
2
．
在Rt△EMB中，EM=OM-OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=
EM2+BM2
=
2
．
∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．
∴AB是△ABE外接圆的直径．
在Rt△ABE中，tan∠BAE=
BE
AE
=
1
3
=tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圆的切线．

（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=
1
3
，sin∠BAE=
10
10
，cos∠BAE=
3
10
10
；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；
①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；
由D（-1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO=
1
3
=tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE
满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．
②DE为短直角边时，P2在x轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=
10
10
；
而DE=
12+32
=
10
，则DP2=DE÷sin∠DP2E=
10
÷
10
10
=10，OP2=DP2-OD=9
即：P2（9，0）；
③DE为长直角边时，点P3在y轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=
3
10
10
；
则EP3=DE÷cos∠DEP3=
10
÷
3
10
10
=
10
3
，OP3=EP3-OE=
1
3
；
综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，-
1
3
）．

（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（3，0），B（1，4）代入，得
3k+b=0
k+b=4
，解得
k=-2
b=6
．
∴y=-2x+6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=
3
2
，∴F（
3
2
，3）．
情况一：如图2，当0＜t≤
3
2
时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．
则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHG∽△FHM，得
AG
FM
=
HK
HL
，即
t
3
2
-t
=
HK
3-HK
．
解得HK=2t．
∴S阴=S△MNG-S△SNA-S△HAG=
1
2
×3×3-
1
2
（3-t）2-
1
2
t•2t=-
3
2
t2+3t．
情况二：如图3，当
3
2
＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．
由△IQA∽△IPF，得
AQ
FP
=
IQ
IP
．即
3-t
t-
3
2
=
IQ
3-IQ
，
解得IQ=2（3-t）．
∵AQ=VQ=3-t，
∴S阴=
1
2
IV•AQ=
1
2
（3-t）2=
1
2
t2-3t+
9
2
．
综上所述：s=
-
3
2
t2+3t(0＜t≤
3
2
)
1
2
t2-3t+
9
2
(
3
2
＜t≤3)
．
点评：该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．
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2
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3
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3
5
；③当0＜t≤5时，y=
2
5
t2；④当t=
29
4
秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是
①③④
①③④
（填序号）．

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