题目内容
（2012•荆州）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=
；③当0＜t≤5时，y=
t2；④当t=
秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 29 |
| 4 |
①③④
①③④
（填序号）．分析：根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
解答：
解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，AB=
=
=4，
∴cos∠ABE=
=
，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=
=
，
∴PF=PBsin∠PBF=
t，
∴当0＜t≤5时，y=
BQ•PF=
t•
t=
t2，故③小题正确；
当t=
秒时，点P在CD上，此时，PD=
-BE-ED=
-5-2=
，
PQ=CD-PD=4-
=
，
∵
=
，
=
=
，
∴
=
，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，AB=
| BE2-AE2 |
| 52-32 |
∴cos∠ABE=
| AB |
| BE |
| 4 |
| 5 |
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=
| AB |
| BE |
| 4 |
| 5 |
∴PF=PBsin∠PBF=
| 4 |
| 5 |
∴当0＜t≤5时，y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
当t=
| 29 |
| 4 |
| 29 |
| 4 |
| 29 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
PQ=CD-PD=4-
| 1 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
∵
| AB |
| AE |
| 4 |
| 3 |
| BQ |
| PQ |
| 5 | ||
|
| 4 |
| 3 |
∴
| AB |
| AE |
| BQ |
| PQ |
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口．
练习册系列答案
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