题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴、y轴的交点分别为A、B,直线y=﹣2x+12交x轴于C,两条直线的交点为D;点P是线段DC上的一个动点,过点P作PE⊥x轴,交x轴于点E,连接BP;
(1)求△DAC的面积;
(2)在线段DC上是否存在一点P,使四边形BOEP为矩形;若存在,写出P点坐标;若不存在,说明理由;
(3)若四边形BOEP的面积为S,设P点的坐标为(x,y),求出S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
【答案】(1)S△DAC=20;(2)存在, 点P的坐标是(5,2);(3)S=﹣x2+7x(4≤x<6).
【解析】
(1)想办法求出A、D、C三点坐标即可解决问题;
(2)存在.根据OB=PE=2,利用待定系数法即可解决问题;
(3)利用梯形的面积公式计算即可;
(1)当y=0时, x+2=0,
∴x=﹣4,点A坐标为(﹣4,0)
当y=0时,﹣2x+12=0,
∴x=6,点C坐标为(6,0)
由题意,解得,
∴点D坐标为(4,4)
∴S△DAC=×10×4=20.
(2)存在,∵四边形BOEP为矩形,
∴BO=PE
当x=0时,y=2,点B坐标为(0,2),
把y=2代入y=﹣2x+12得到x=5,
点P的坐标是(5,2).
(3)∵S=(OB+PE)OE
∴S=(2﹣2x+12)x=﹣x2+7x(4≤x<6).
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