Question

【题目】如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3，过点E作EF∥CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O，交折线BCD于点Q，设AP=x，POOQ=y．

（1）①延长BC交ED于点M，则MD= ， DC=；

（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，求a，b的值；
（4）当1≤y≤3时，请直接写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）2；1
（2）解：∵AP=x，EP=2﹣x，

在RT△AEF中，tan∠AEF= = =2，

∴PO=PEtan∠AEF=2×（2﹣x）=﹣2x+4．

当0＜x≤1时，

∵OQ=FB=1，

∴y=POOQ=（﹣2x+4）×1=﹣2x+4；

当1＜x≤2时，

∵PQ=3，∴OQ=3﹣OP，

∵POOQ=y，

∴y=PO（3﹣PO）=（﹣2x+4）（3+2x﹣4）=﹣4x2+10x﹣4，

∴y=

（3）

解：当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，

∵y=﹣2x+4，

∴y随x的增大而减小，

∴4﹣2× =9a，4﹣2a=6b，

解得：a= ，b=

（4）

解：图象如图所示，

①当0＜x≤1时，1≤4﹣2x≤3，

∴ ≤x≤ ，

∴ ≤x≤1，

②当1＜x≤2时，y=﹣4x2+10x﹣4的对称轴为x= ，ymax= ，

当y=1，x= ，而 ＜2，

∴1≤x≤ ，

综上所述：当1≤y≤3时，x的取值范围为 ≤x≤ ．

【解析】解：（1）①∵EF∥CB，PQ∥AB，
∴四边形OFBQ是平行四边形，
∴OQ=BF=1，
∵∠A=∠AED=90°，
∴DE∥AB，
∴四边形EMBF是平行四边形，
∴EM=BF=1，
∵DE=3，
∴DM=2，
∵∠D=∠A=90°，∠DMC=∠B=∠EFA，
∴△DMC∽△AEF，
∴ ，
∵AF=AB﹣BF=4，
∴ ，
∴CD=1；
所以答案是：2，1；

【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．