题目内容

【题目】如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.

(1)求证:BD=CE;
(2)若AB=2,AD=1,把△ADE绕点A旋转,
①当∠EAC=90°时,求PB的长;
②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值.

【答案】
(1)

证明:如图1中,

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,

∴AB=AC,AD=AE,∠DAB=∠CAE,

在△ADB和△AEC中,

∴△ADB≌△AEC,

∴BD=CE.


(2)

①解:(i)、如图2中,当点E在AB上时,BE=AB﹣AE=1.

∵∠EAC=90°,

∴CE= =

同(1)可证△ADB≌△AEC.

∴∠DBA=∠ECA.

∵∠PEB=∠AEC,

∴△PEB∽△AEC.

=

=

∴PB=

(ii)、如图3中,当点E在BA延长线上时,BE=3.

∵∠EAC=90°,

∴CE= =

同(1)可证△ADB≌△AEC.

∴∠DBA=∠ECA.

∵∠BEP=∠CEA,

∴△PEB∽△AEC,

=

=

∴PB=

综上,PB=

②如图4中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A下方与⊙A相切时,PB的值最小.

理由:此时∠BCE最小,因此PB最小,(△PBC是直角三角形,斜边BC为定值,∠BCE最小,因此PB最小)

∵AE⊥EC,

∴EC= = =

由(1)可知,△ABD≌△ACE,

∴∠ADB=∠AEC=90°,BD=CE=

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°,

∴四边形AEPD是矩形,

∴PD=AE=1,

∴PB=BD﹣PD= ﹣1.

如图5中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A上方与⊙A相切时,PB的值最大.

理由:此时∠BCE最大,因此PB最大,(△PBC是直角三角形,斜边BC为定值,∠BCE最大,因此PB最大)

∵AE⊥EC,

∴EC= = =

由(1)可知,△ABD≌△ACE,

∴∠ADB=∠AEC=90°,BD=CE=

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°,

∴四边形AEPD是矩形,

∴PD=AE=1,

∴PB=BD+PD= +1.

综上所述,PB长的最小值是 ﹣1,最大值是 +1.


【解析】(1)欲证明BD=CE,只要证明△ABD≌△ACE即可.(2)①分两种情形a、如图2中,当点E在AB上时,BE=AB﹣AE=1.由△PEB∽△AEC,得 = ,由此即可解决问题.b、如图3中,当点E在BA延长线上时,BE=3.解法类似.②a、如图4中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A下方与⊙A相切时,PB的值最小.b、如图5中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A上方与⊙A相切时,PB的值最大.分别求出PB即可.

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