题目内容
如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．（1）分别计算出当∠A为70°，80°时∠A1的度数；
（2）根据（1）中的计算结果写出∠A与∠A1之间等量关系
（3）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、An，请写出∠A6与∠A的数量关系
（4）如图，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：
①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q-∠A1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
分析：（1）（2）（3）的解法一致，由三角形的外角性质易知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，而∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1，可得∠A1=
（∠ACD-∠ABC）=
∠A；根据上面的思路可知：∠A2=
∠A1=
∠A，…∠An=
∠A，根据这个规律进行求解即可．
（4）依然要用三角形的外角性质求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的关系．
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（4）依然要用三角形的外角性质求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的关系．
解答：解：（1）∵A1C、A1B分别是∠ACD、∠ABC的角平分线，
∴∠A1BC=
∠ABC，∠A1CD=
∠ACD；
由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，即：
∠A1=
（∠ACD-∠ABC）=
∠A；
当∠A=70°时，∠A1=35°；当∠A=80°，∠A1=40°．
（2）由（1）知：∠A1=
∠A．
（3）同（1）可求得：
∠A2=
∠A1=
∠A，
∠A3=
∠A2=
∠A，
…
依此类推，∠An=
∠A；
当n=6时，∠A6=
∠A．
（4）△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；
即：2∠A1=2（180°-∠Q），
化简得：∠A1+∠Q=180°，
因此①的结论是正确的，且这个定值为180°．
解：（1）∵A1C、A1B分别是∠ACD、∠ABC的角平分线，∴∠A1BC=
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由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，即：
∠A1=
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当∠A=70°时，∠A1=35°；当∠A=80°，∠A1=40°．
（2）由（1）知：∠A1=
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（3）同（1）可求得：
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∠A3=
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依此类推，∠An=
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当n=6时，∠A6=
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（4）△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；
即：2∠A1=2（180°-∠Q），
化简得：∠A1+∠Q=180°，
因此①的结论是正确的，且这个定值为180°．
点评：此题主要考查的是三角形的外角性质，还涉及到角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，难度适中．
练习册系列答案
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27、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DN⊥AC于N，DM⊥AB于M
14、如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（ ）
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