Question

（2013•本溪三模）已知，AC是正方形ABCD的对角线，一个直角三角尺按如图所示方式放置，该三角尺的直角顶点E始终在AC上，一条直角边与AD相交于点F，另一条直角边与CD交于点G．
（1）如图1，当点E是AC的中点时，猜想EF与EG的数量关系并说明理由．
（2）①如图2，把（1）中的三角尺沿CA方向平移，当点E是AC的三等分点时，猜想EF与EG的数量关系并说明理由．
②图2中的正方形改为矩形，如图3，其他条件不变．①中的结论还成立吗？如果成立，请证明．如果不成立，请直接写出当∠ACD=30°时，EF与EG的数量关系．

Answer 1

分析：（1）如图1，连接ED，根据正方形的性质证明△AFE≌△DGE，就可以得出EF=EG；
（2）如图2，作EM⊥AD于M，EN⊥CD于N，可以得出四边形MEND是矩形，就有EN=MD，由正方形的性质可以得出EM=AM，通过证明△EMF∽△ENG就可以得出结论；
（3）如图3，作EM⊥AD于M，EN⊥CD于N，可以得出四边形MEND是矩形，但EM≠AM，由△EMF∽△ENG就有

EF

EG

=

EM

EN

≠

1

2

，当∠ACD=30°时，EM=

1

3

CD，设AM=a，则EM=

3

a，MD=EG=2a，CD=3

3

a，就可以求出结论．

解答：解：（1）EF=EG
理由：如图1，连接ED．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，∠FAE=45°．
∵E是AC的中点，
∴ED=AE=

1

2

AC，∠EDG=45°，∠AED=90°．
∴∠FAE=∠GDE．
∵∠FEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG．
在△AFE和△DGE中，

∠FAE=∠GDE AE=DE ∠AEF=∠DEG

，
∴△AFE≌△DGE（ASA），
∴EF=EG．

（2）EF=

1

2

EG
理由：如图2，作EM⊥AD于M，EN⊥CD于N，
∴∠EMD=∠EMA=∠EGD=90°．
∴EM∥CD．
∵∠D=90°，
∴四边形MEND是矩形，
∴MD=EN．
∵∠EAF=45°，
∴∠AEM=45°，
∴∠EAF=∠AEM，
∴AM=EM．
∵E是AC的三等分点，
∴

AE

CE

=

1

2

．
∵EM∥CD，
∴

AM

MD

=

AE

EC

=

1

2

．
∴

EM

EN

=

1

2

∵∠FEM+∠MEG=∠FEG=90°，∠MEG+∠GEN=90°，
∴∠FEM=∠GEN．
∵∠EMF=∠ENG，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

=

1

2

，
∴EF=

1

2

EG；

（3）如图3，作EM⊥AD于M，EN⊥CD于N，
∴∠EMD=∠EMA=∠EGD=90°．
∴EM∥CD．
∵∠D=90°，
∴四边形MEND是矩形，
∴MD=EN．
∵E是AC的三等分点，
∴

AE

CE

=

1

2

．
∵EM∥CD，
∴

AM

MD

=

AE

EC

=

1

2

．
∵EM≠AM，
∴

EM

EN

≠

AE

EC

，
∴

EM

EN

≠

1

2

．
∵∠FEM+∠MEG=∠FEG=90°，∠MEG+∠GEN=90°，
∴∠FEM=∠GEN．
∵∠EMF=∠ENG，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

，
∴

EF

EG

≠

1

2

，
故①的结论不成立；
当∠ACD=30°时，EF=

3

2

EG．
理由：
∵E是AC的三等分点，
∴

AE

CE

=

1

2

．
∵EM∥CD，
∴∠AEM=∠ACD=30°，

AM

MD

=

AE

EC

=

1

2

．
∴AE=2AM，
设AM=a，
∴AE=2a，MD=2a，
由勾股定理，得
EM=

3

a，MD=EG=2a，CD=3

3

a，
∴MD=EN=2a．
∵∠FEM+∠MEG=∠FEG=90°，∠MEG+∠GEN=90°，
∴∠FEM=∠GEN．
∵∠EMF=∠ENG，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

，
∴

EF

FG

=

3 a

2a

=

3

2

，
∴EF=

3

2

EG．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行线分线段成比例的运用，解答时证明三角形相似是关键．