题目内容

【题目】已知如图,在 ABC 中,BAC 90° ,分别过顶点 BC A 点的直线的垂线垂足分别为 DE,试探究线段 BDCEDE 之间的关系.

(1)当直线 DE 绕点 A 旋转至如图 1 的位置,直接写出 BDCEDE 之间的数量

(2)当直线 DE 绕点 A 旋转至如图 2 的位置,直接写出 BDCEDE 之间的数量

(3)当直线 DE 绕点 A 旋转至如图 3 的位置,写出 BDCEDE 之间的数量,并证明 你的结论;

(4)如图 4,如果将 ABC 放在直角坐标系中,若点 A 的坐标为(-1,1), OB-OC .请写出必要的解答步骤.

【答案】1DE=BD+CE;(2DE=BD-CE;(3DE=CE-BD,证明见解析;(42

【解析】

1∠ ADB=∠ AEC=90°,转换得到∠ DBA=∠ EAC,证明△ DAB≌△ ECA,即可得出线段 BDCEDE 之间的关系;(2)(3)同理可证△ DAB≌△ ECA即可求出BDCEDE 之间的关系;(4)作AD垂直与y轴于点D,作AE垂直于x轴于点EA点坐标为(-1,1),则四边形AEOD为正方形,证明△ BAE≌△ CAD,即可算出OB-OC的值

1)∵BD⊥ DECE⊥ DE

∠ ADB=∠ AEC=90°

∠ BAC=90°

∠ DAB+∠ EAC=90°∠ DAB+∠ DBA=90°,

∴∠ DBA=∠ EAC

△ DAB△ ECA

△ DAB≌△ ECAAAS

DB=EADA=EC

∴ DE=BD+CE

2)∵∠ BAC=90°

∴∠DAB+EAC=90°,∠DAB+DBA=90°,

∴∠DBA=EAC

DAB ECA

∴△DAB≌△ECAAAS

DB=EADA=EC

DE=BD-CE

3)∵∠ BAC=90°

∴∠DAB+EAC=90°,∠DAB+DBA=90°,

∴∠DBA=EAC

DAB ECA

∴△DAB≌△ECAAAS

DB=EADA=EC

DE=CE-BD

4)如图,作AD垂直与y轴于点D,作AE垂直于x轴于点E

∵A点坐标为(-1,1),

∴∠ADC=∠AEO=90°AE=AD=1,

∴四边形AEOD为正方形,

∠ EAD=90°

∴∠EAC+∠ DAC=90°∠ EAC+∠ BAE=90°

∴∠ BAE=∠ CAD

△ BAE△ CAD

△ BAE ≌△ CADAAS

BE=DC

OB=OE+BEOC=CD-OD

OB-OC=OE+EB-CD-OD=OE+OD=2

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