题目内容
【题目】已知如图,在 ABC 中,BAC 90° ,分别过顶点 B、C 作 A 点的直线的垂线垂足分别为 D、E,试探究线段 BD、CE、DE 之间的关系.
(1)当直线 DE 绕点 A 旋转至如图 1 的位置,直接写出 BD、CE、DE 之间的数量 为 ;
(2)当直线 DE 绕点 A 旋转至如图 2 的位置,直接写出 BD、CE、DE 之间的数量 为 ;
(3)当直线 DE 绕点 A 旋转至如图 3 的位置,写出 BD、CE、DE 之间的数量,并证明 你的结论;
(4)如图 4,如果将 ABC 放在直角坐标系中,若点 A 的坐标为(-1,1),求 OB-OC 的 值.请写出必要的解答步骤.
【答案】(1)DE=BD+CE;(2)DE=BD-CE;(3)DE=CE-BD,证明见解析;(4)2
【解析】
(1)∠ ADB=∠ AEC=90°,转换得到∠ DBA=∠ EAC,证明△ DAB≌△ ECA,即可得出线段 BD、CE、DE 之间的关系;(2)(3)同理可证△ DAB≌△ ECA即可求出BD、CE、DE 之间的关系;(4)作AD垂直与y轴于点D,作AE垂直于x轴于点E,A点坐标为(-1,1),则四边形AEOD为正方形,证明△ BAE≌△ CAD,即可算出OB-OC的值
(1)∵BD⊥ DE,CE⊥ DE,
∴∠ ADB=∠ AEC=90°,
∵∠ BAC=90°,
∴∠ DAB+∠ EAC=90°,∠ DAB+∠ DBA=90°,
∴∠ DBA=∠ EAC,
在△ DAB和△ ECA中
∴△ DAB≌△ ECA(AAS)
∴DB=EA,DA=EC,
∴ DE=BD+CE;
(2)∵∠ BAC=90°,
∴∠DAB+∠EAC=90°,∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠DBA=∠EAC,
在△ DAB和△ ECA中
∴△DAB≌△ECA(AAS)
∴DB=EA,DA=EC,
∴ DE=BD-CE;
(3)∵∠ BAC=90°,
∴∠DAB+∠EAC=90°,∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠DBA=∠EAC,
在△ DAB和△ ECA中
∴△DAB≌△ECA(AAS)
∴DB=EA,DA=EC,
∴ DE=CE-BD;
(4)如图,作AD垂直与y轴于点D,作AE垂直于x轴于点E,
∵A点坐标为(-1,1),
∴∠ADC=∠AEO=90°,AE=AD=1,
∴四边形AEOD为正方形,
∴∠ EAD=90°,
∴∠EAC+∠ DAC=90°,∠ EAC+∠ BAE=90°,
∴∠ BAE=∠ CAD,
在△ BAE和△ CAD中
∴△ BAE ≌△ CAD(AAS)
∴BE=DC,
∴OB=OE+BE,OC=CD-OD,
∴OB-OC=(OE+EB)-(CD-OD)=OE+OD=2
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