题目内容
实践探究题：
（1）如图1，在直角坐标系中，一个直角边为4等腰直角三角形板ABC的直角顶点B放至点O的位置，点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AKL的位置，求直线AL的解析式；
（2）如图2，将任意两个等腰直角三角板△ABC和△MNP放至直角坐标系中，直角顶点B、N分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点M、A都在x轴的负半轴上，顶点C、P分别在第二象限和第三象限，AC和MP的中点分别为E、F，请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（3）如图3，将第（1）问中的等腰直角三角形板ABC顺时针旋转180°至△OMN的位置．G为线段OC的延长线上任意一点，作GH⊥AG交x轴于H，并交直线MN于Q．请探究下面两个结论：①
为定值；②
为定值．其中只有一个是正确的，请判断正确的结论，并求出其值．
（1）如图1，在直角坐标系中，一个直角边为4等腰直角三角形板ABC的直角顶点B放至点O的位置，点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AKL的位置，求直线AL的解析式；
（2）如图2，将任意两个等腰直角三角板△ABC和△MNP放至直角坐标系中，直角顶点B、N分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点M、A都在x轴的负半轴上，顶点C、P分别在第二象限和第三象限，AC和MP的中点分别为E、F，请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（3）如图3，将第（1）问中的等腰直角三角形板ABC顺时针旋转180°至△OMN的位置．G为线段OC的延长线上任意一点，作GH⊥AG交x轴于H，并交直线MN于Q．请探究下面两个结论：①
| GN+GC |
| NQ |
| GN-GC |
| NQ |
分析：（1）求得A、L的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）过E作EG⊥x轴于G，过E作EH⊥y轴于H，易证△AEG≌△EBH，则EG=EH，即E到∠BOA的两边距离相等，则E在∠BOA的平分线上，同理F在∠AON的平分线上，据此即可证得∠EOF=90°，从而判断；
（3）过Q作EQ⊥NQ交y轴于E，延长AC交EQ于F，连GF，证明△AGC≌△QGF，即可求得．
（2）过E作EG⊥x轴于G，过E作EH⊥y轴于H，易证△AEG≌△EBH，则EG=EH，即E到∠BOA的两边距离相等，则E在∠BOA的平分线上，同理F在∠AON的平分线上，据此即可证得∠EOF=90°，从而判断；
（3）过Q作EQ⊥NQ交y轴于E，延长AC交EQ于F，连GF，证明△AGC≌△QGF，即可求得．
解答：解：（1）A的坐标是：（-4，0），L的坐标是（-8，4），设直线AL的解析式是：y=kx+b，
则
，
解得：
，
则直线AL的解析式为：y=-x-4；
（2）△OEF是直角三角形．
证明：连BE，则BE⊥AC，且BE=AE．
过E作EG⊥x轴于G，过E作EH⊥y轴于H．
则△AEG≌△EBH，
∴EG=EH
∴OE平分∠BOA，
同理OF平分∠AON，
∴∠EOF=90°即△OEF是直角三角形；
（3）结论①正确．
过Q作EQ⊥NQ交y轴于E，延长AC交EQ于F，连GF，AC=CM=QF．
∴过G分别作GL⊥NA，GJ⊥NQ，
∵G是∠ANM的角平分线NC上一点，
∴GL=GJ，
同（1）可得：△AGL≌△QGJ，
∴GA=GQ，
∵∠ANQ=90°，GL⊥NA，GJ⊥NQ，
∴∠LGJ=90°，
又∵∠AGH=90°，
∴∠GAC=∠FQG，
∴在△AGC和△QGF中，
，
∴△AGC≌△QGF，
∴GC=GF=GE，
GN+GC=GN+GE=NE=
NQ．
∴
=
．
则
|
解得：
|
则直线AL的解析式为：y=-x-4；
（2）△OEF是直角三角形．
证明：连BE，则BE⊥AC，且BE=AE．
过E作EG⊥x轴于G，过E作EH⊥y轴于H．
则△AEG≌△EBH，
∴EG=EH
∴OE平分∠BOA，
同理OF平分∠AON，
∴∠EOF=90°即△OEF是直角三角形；
（3）结论①正确．
过Q作EQ⊥NQ交y轴于E，延长AC交EQ于F，连GF，AC=CM=QF．
∴过G分别作GL⊥NA，GJ⊥NQ，
∵G是∠ANM的角平分线NC上一点，
∴GL=GJ，
同（1）可得：△AGL≌△QGJ，
∴GA=GQ，
∵∠ANQ=90°，GL⊥NA，GJ⊥NQ，
∴∠LGJ=90°，
又∵∠AGH=90°，
∴∠GAC=∠FQG，
∴在△AGC和△QGF中，
|
∴△AGC≌△QGF，
∴GC=GF=GE，
GN+GC=GN+GE=NE=
| 2 |
∴
| GN+GC |
| NQ |
| 2 |
点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的全等的判定与性质，正确证明△AGC≌△QGF是关键．
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