Question

操作与探究：
把两块全等的等腰直角△ABC和△DEF叠放在一起，使△DEF的顶点E与△ABC的斜边中点O重合，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，将△ABC固定不动，让△DEF绕点O旋转．设射线ED与射线CA相交于点P，射线EF与射线AB相交于点Q．
（1）如图①，当射线EF经过点A，即点Q与点A重合时，试说明△COP∽△BAO，并求CP•BQ值．
（2）如图②，若△DEF绕点O逆时针旋转，当旋转角小于45°时，问CP•BQ的值是否改变？说明你的理由．
（3）若△DEF绕点O逆时针旋转，当旋转角大于45°而小于90°时，请在图③中画出符合条件的图形，并写出CP•BQ的值．（不用说明理由）

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质证得△COP∽△BAO，并由相似三角形的对应边成比例来求CP•BQ值；
（2）、（3）不会改变，关键是还是证△COP∽△BQO，已知了一组45°角，关键是证（1）中的∠OPC=∠QOB，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，那么∠COP=45°+α，∠BQO=45°+α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变．

解答：（1）解：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠F=∠FED=45°．
∵△ABC是等腰直角三角形，点O是斜边BC的中点，
∴∠BAO=∠FOD=45°，∠AOB=90°，
∴AB∥OD，
∴∠OPC=∠AOB=90°，
∴△COP∽△BAO，
∴CP：BO=CO：BA，即CP：BO=CO：BQ，
∴CP•BQ=BO×CO，
∵AB=AC=4，
∴BE=CE=2

2

，
∴CP•BQ=BO×CO=2

2

×2

2

=8；

（2）CP•BQ的值是8．
证明：在△COP与△BQO中，
∠C=∠B=45°，∠COP=45°+α，而∠BQO=180°-45°-（90°-α）=45°+α，
∴∠COP=∠BQO，
∴△COP∽△BQO，
CP：BO=CO：BQ，
∴CP•BQ=BO×CO，
∵AB=AC=4，
∴BE=CE=2

2

，
∴CP•BQ=BO×CO=2

2

×2

2

=8；

（3）解：如图，同理可说明
CP•BQ=8．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质等知识的综合应用，有一定难度，要对各部分知识都要熟练掌握．