题目内容

阅读下列材料，回答问题．
材料一：人们习惯把形如 $数学公式$ 的函数称为“根号函数”，这类函数的图象关于原点中心对称．
材料二：对任意的实数a、b而言，a²-2ab+b²=（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab．
易知当a=b时，（a-b）²=0，即：a²-2ab+b²=0，所以a²+b²=2ab．
若a≠b，则（a-b）²＞0，所以a²+b²＞2ab．
材料三：如果一个数的平方等于m，那么这个数叫做m的平方根（square root）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．0的平方根是0，负数没有平方根．
问题：
（1）若“根号函数” $数学公式$ 在第一象限内的大致图象如图所示，试在网格内画出该函数在第三象限内的大致图象；
（2）请根据材料二、三给出的信息，试说明：当x＞0时，函数 $数学公式$ 的最小值为2．

解：（1）根据材料一，函数的图象关于原点中心对称，可得函数图象：

（2）∵x＞0，
∴y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵x²+ $\text{[math]}$ -2x• $\text{[math]}$ =（x- $\text{[math]}$ ）²≥0，
∴x²+ $\text{[math]}$ ≥2，
∴y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ =2，
即y≥2，
∴函数 $\text{[math]}$ 的最小值为2．
分析：（1）根据材料一，函数的图象关于原点中心对称，可得函数图象；
（2）将 $\text{[math]}$ 化为y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再根据材料二、三所给条件解答．
点评：本题考查了反比例函数综合题，读懂材料并加以运用是解题的关键．

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阅读下列材料后回答问题：
在平面直角坐标系中，已知x轴上的两点A（x₁，0），B（x₂，0）的距离记作|AB|=|x₁-x₂|，如果A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求A、B间的距离．
如图，过A、B两点分别向x轴、y轴作垂线AM₁、AN₁和BM₂、BN₂，垂足分别记作M₁（x₁，0），N₁（0，y₁）、M₂（x₂，0），N₂（0，y₂），直线AN₁与BM₂交于Q点．
在Rt△ABQ中，|AB|²=|AQ|²+|QB|²，∵|AQ|=|M₁M₂|=|x₂-x₁|，|BQ|=|N₁N₂|=|y₂-y₁|
∴|AB|²=|x₂-x₁|2+|y₂-y₁|²由此得任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的距离公式：|AB|=

|x2-x1|2+|y2-y1|2

如果某圆的圆心为（0，0），半径为r．设P（x，y）是圆上任一点，根据“圆上任一点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）”，我们不难得到|PO|=r，即

=r，整理得：x²+y²=r²．我们称此式为圆心在

原点，半径为r的圆的方程．
（1）直接应用平面内两点间距离公式，求点A（1，-3），B（-2，1）之间的距离；
（2）如果圆心在点P（2，3），半径为3，求此圆的方程．
（3）方程x²+y²-12x+8y+36=0是否是圆的方程？如果是，求出圆心坐标与半径．

阅读下列材料再回答问题：
对于函数y=x²，当x=1时，y=1，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=4，当x=-2时，y=4；…
而点（1，1）与（-1，1），（2，4）与（-2，4），…，都关于y轴对称．显然，如果点（x₀，y₀）在函数y=x²的图象上，那么，它关于y轴对称的点（-x₀，y₀）也在函数y=x²的图象上，这时，我们说函数y=x²关于y轴对称．
一般地，如果对于一个函数，当自变量x在允许范围内取值时，若x=x₀和x=-x₀时，函数值都相等，我们说函数的图象关于y轴对称．
问题：
（1）对于函数y=x³，当自变量x取一对相反数时，函数值也得到一对相反数，则函数y=x³的图象关于

对称．（“x轴”、“y轴”或“原点”）．
（2）下列函数：①y=x³+2x；②y=2x⁴+4x²；③y=x+

；④y=-x^-2 中，其图象关于y轴对称的有

，关于原点对称的有

（只填序号）．
（3）请你写出一个我们学过的函数关系式

，其图象关于直线y=x对称．

阅读下列材料，回答问题．
【材料1】乘积是1的两个数互为倒数，即

互为倒数，也就是说，a÷b=x．则b÷a=

．
【材料2】乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把所得的积相加，即（a+b）c=ac+bc．
利用上述材料，巧解下题：(-

（1）阅读以下内容：

(x-1)(x+1)=x2-1

(x-1)(x2+x+1)=x3-1

(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1

①根据以上规律，可得（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=

（n为正整数）；
②根据这一规律，计算：1+2+2²+2³+2⁴+…2²⁰¹¹+2²⁰¹²+2²⁰¹³=

．
（2）阅读下列材料，回答问题：
关于x的方程：x+

的解是x₁=a，x2=

的解是x₁=a，x2=

的解是x₁=a，x2=

；
…
①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程x+

(m≠0)的解；
②请你写出关于x的方程x+

阅读下列材料，回答问题．
材料一：人们习惯把形如y=x+

(k＞0)的函数称为“根号函数”，这类函数的图象关于原点中心对称．
材料二：对任意的实数a、b而言，a²-2ab+b²=（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab．
易知当a=b时，（a-b）²=0，即：a²-2ab+b²=0，所以a²+b²=2ab．
若a≠b，则（a-b）²＞0，所以a²+b²＞2ab．
材料三：如果一个数的平方等于m，那么这个数叫做m的平方根（square root）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．0的平方根是0，负数没有平方根．
问题：
（1）若“根号函数”y=x+

在第一象限内的大致图象如图所示，试在网格内画出该函数在第三象限内的大致图象；
（2）请根据材料二、三给出的信息，试说明：当x＞0时，函数y=x+

的最小值为2．