题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B,与y轴交于点A,与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C,CE⊥x轴,垂足为点E,tan∠ABO=,OB=4,OE=2.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点,过点D作DF⊥y轴,垂足为点F,连接OD、BF,如果S△BAF=4S△DFO,求点D的坐标.
【答案】(1)y=-;(2)D(,一4).
【解析】
试题分析:(1)先由tan∠ABO==及OB=4,OE=2求出CE的长度,从而得到点C的坐标,再将点C的坐标代入y=即可求得反比例函数的解析式.(2)先由反比例函数y=的k的几何意义得出S△DFO,由S△BAF=4S△DFO得到S△BAF,根据S△BAF=AFOB得出AF的长度,用AF-OA求出OF的长,据此可先得出点D的纵坐标,再求D得横坐标.
试题解析:(l)∵OB=4,OE=2,∴BE=OB+OE=6.
∵CE⊥x轴,∴∠CEB=90°.
在Rt△BEC中,∵tan∠ABO=,∴=.即=,解得CE=3.
结合图象可知C点的坐标为(一2,3),
将C(―2,3)代入反比例函数解析式可得3=.解得m=-6.
反比例函数解析式为y=-.
(2)解:方法一:∵点D是y=-的图象上的点,且DF⊥y轴,
∴S△DFO=×|-6|=3.
∴S△BAF=4S△DFO=4×3=12.∴AFOB=12.∴×AF×4=12.
∴AF=6.∴EF=AF-OA=6-2=4.
∴点D的纵坐标为-4.
把y=-4代入y=-,得 -4=-.∴x=.
∴D(,一4).
方法二:设点D的坐标为(a,b).
∵S△BAF=4S△DFO,∴AFOB=4×OFFD.∴(AO+OF) OB=4OFFD.
∴[2+(-b)]×4=-4ab.∴8-4b=-4ab.
又∵点D在反比例函数图象上,∴b=-.∴ab=-6.∴8-4b=24.解得:b=-4.
把b=-4代ab=-6中,解得:a=.
∴D(,一4).