Question

已知：矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（6，0），C（0，3），直线y=

3

4

x与BC边交于D点．
（1）求D点的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx经过A、D两点，求此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P．

Answer 1

分析：（1）已知直线y=

3

4

x与BC交于点D（x，3），把y=3代入等式可得点D的坐标；
（2）如图抛物线y=ax²+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把已知坐标代入解析式得出a，b的值即可；
（3）证明Rt△P₁OM∽Rt△CDO以及Rt△P₂P₁O≌Rt△DCO后推出CD=P₁P₂=4得出符合条件的坐标．

解答：解：（1）由题知，直线y=

3

4

x与BC交于点D（x，3）．（1分）
把y=3代入y=

3

4

x中得，x=4，
∴D（4，3）；（3分）

（2）抛物线y=ax²+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，
把x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax²+bx中，（4分）
得

16a+4b=3 36a+6b=0

解之得

a=- 3 8 b= 9 4

（5分）
∴抛物线的解析式为y=-

3

8

x²+

9

4

x；（6分）

（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P₁，符合条件．
∵CB∥OA∠P₁OM=∠CDO，
∴Rt△P₁OM∽Rt△CDO．
∵x=-

b

2a

=3，
∴该点坐标为P₁（3，0）．（11分）
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P₂，
∵对称轴平行于y轴，
∴∠P₂MO=∠DOC，
∴Rt△P₂MO∽Rt△DCO．
在Rt△P₂P₁O和Rt△DCO中
P₁O=CO=3，∠P₂=∠ODC，
∴Rt△P₂P₁O≌Rt△DCO．
∴CD=P₁P₂=4，
∵点P₂位于第四象限，
∴P₂（3，-4）．（12分）
因此，符合条件的点有两个，分别是P₁（3，0），P₂（3，-4）．（13分）

点评：此题考查函数性质与坐标关系，最后一问探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质，综合性比较强，难度较大．